Determinar o ponto P com abscissa nula e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\left\{\begin{array}{c}y=1+3 x \\\ z=-2-4 x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações (em coordenadas cartesianas, com a variável livre sendo x):
y = 1 + 3x
z = -2 - 4x
O que é pedido:
  • Determinar o ponto P cuja abscissa (isto é, a coordenada x) é nula.
  • Determinar um vetor diretor \vec{v} da reta dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As equações relacionam y e z em função de x.
  • A abscissa nula significa x=0.
  • A reta está apresentada de forma implícita através de x como parâmetro; podemos escrever a posição de um ponto genérico da reta como função de x.

Passo 2

Transformar as equações numa forma vetorial/paramétrica ajuda muito. Vou escrever as coordenadas de um ponto genérico da reta em função do parâmetro x. Tomando x como parâmetro (posso chamar de t, mas aqui é natural usar x):
(x,y,z) = \bigl(x,\;1+3x,\;-2-4x\bigr).
Explicação didática: isso significa que cada ponto da reta tem coordenadas x (primeira coordenada), 1+3x (segunda) e -2-4x (terceira). Essa é uma forma paramétrica da reta, com parâmetro x.

Passo 3

Encontrar o ponto P com abscissa nula: coloque x=0 (pois abscissa é a coordenada x).
Substituindo em cada coordenada:
x=0 \quad\Rightarrow\quad y = 1 + 3\cdot 0 = 1,
x=0 \quad\Rightarrow\quad z = -2 - 4\cdot 0 = -2.
Portanto o ponto pedido é
P = \bigl(0,\;1,\;-2\bigr).
Comentário de amigo: pronto — esse é o ponto da reta que “fica em cima” do plano x=0.

Passo 4

Achar um vetor diretor \vec{v}. Método prático: reescrever o ponto genérico como soma do ponto P mais o parâmetro multiplicando um vetor:
\bigl(x,\;1+3x,\;-2-4x\bigr) = \bigl(0,\;1,\;-2\bigr) + x\bigl(1,\;3,\;-4\bigr).
Explicação didática: compare termos — o termo independente (quando x=0) é (0,1,-2), e os coeficientes que multiplicam x formam o vetor (1,3,-4). Esse vetor mostra a direção na qual a reta cresce quando x aumenta de 1.
Logo um vetor diretor é
\vec{v} = \bigl(1,\;3,\;-4\bigr).

Passo 5

Verificação e observação útil para a prova: se eu tomar x=1 na expressão paramétrica, o ponto é (1,4,-6). O vetor que liga P=(0,1,-2) a esse ponto é
(1,4,-6)-(0,1,-2) = (1,3,-4),
que confirma que \vec{v}=(1,3,-4) realmente aponta na direção da reta.
Observação extra importante: qualquer múltiplo escalar de \vec{v}, por exemplo (-1,-3,4) ou (2,6,-8), também é um vetor diretor válido — diretores só precisam ter mesma direção, não magnitude fixa.

Passo 6

Resumo prático para a prova (truque rápido): quando receber equações do tipo y=a+bx, z=c+dx, escreva imediatamente o ponto quando x=0 como (0,a,c) e o vetor diretor como (1,b,d). Isso funciona porque x é o parâmetro natural aqui.

Resposta

P=(0,1,-2)
\vec{v}=(1,3,-4)

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