Determinar o ponto P com abscissa nula e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\left\{\begin{array}{c}x=y \\\ z=1-y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de equações para as coordenadas (x,y,z)\): \[\begin{cases} x=y,\\[4pt] z=1-y. \end{cases}
O que o problema pede:
  • Determinar um ponto P\] da reta cuja abscissa (ou seja, a coordenada \(x) é nula, isto é, encontrar um ponto com x=0.
  • Determinar um vetor diretor \vec{v} dessa reta (um vetor que indique a direção da reta).
Informações relevantes dadas:
  • Há duas equações relacionando x,y,z.
  • Não foi fornecido um parâmetro diretamente; isso significa que podemos escolher uma variável livre para parametrizar os pontos que satisfazem as duas equações.]

Passo 2

Escolher uma forma prática de descrever todos os pontos que satisfazem o sistema: usar um parâmetro. Uma maneira simples é tomar a variável y como parâmetro. Defina
y=t,
onde t é um número real que percorre toda a reta. Agora substitua y=t nas equações para obter x e z em função de t:
x=y=t, \qquad z=1-y=1-t.
Portanto os pontos da reta podem ser escritos de forma paramétrica como
(x,y,z)=(t,t,1-t).
Explicação didática rápida: escolher uma variável como parâmetro significa “varrer” a reta fazendo essa variável mudar; as outras coordenadas são expressas em função desse parâmetro. Aqui t é a coordenada livre que identifica cada ponto da reta.

Passo 3

Reescrever a parametrização destacando um ponto particular e o vetor que multiplica t. Faça manipulação algébrica simples:
(t,t,1-t)=(0,0,1)+t(1,1,-1).
Isto mostra duas coisas úteis:
  • Um ponto particular da reta é (0,0,1), que corresponde a t=0.
  • Um vetor diretor da reta é (1,1,-1), pois é o vetor que multiplica o parâmetro t na escrita afim.
Explicação do conceito de vetor diretor: se a posição de um ponto na reta é dada por \vec r=\vec r_0+t\vec v, então \vec v é um vetor diretor porque ao variar t movemos o ponto ao longo da direção de \vec v. Qualquer múltiplo escalar de \vec v também serve como vetor diretor.

Passo 4

Agora responda à pergunta específica sobre o ponto com abscissa nula. “Abscissa nula” significa x=0. Na parametrização x=t isso implica t=0. Substituindo em (t,t,1-t) obtemos o ponto
P=(0,0,1).
E o vetor diretor já identificado na Passo 3 é
\vec v=(1,1,-1).
Observação prática para a prova: se preferir outro parâmetro, por exemplo x=s (que aqui coincide com y), chega-se ao mesmo vetor diretor; o importante é expressar a reta como um ponto inicial mais um parâmetro vezes o vetor diretor.

Resposta

P=(0,0,1)
\vec v=(1,1,-1)

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