Determinar o ponto
com abscissa nula e um vetor diretor
de cada uma das retas:
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de equações para as coordenadas
O que o problema pede:
- Determinar um ponto
) é nula, isto é, encontrar um ponto com
. - Determinar um vetor diretor
dessa reta (um vetor que indique a direção da reta).
Informações relevantes dadas:
- Há duas equações relacionando
. - Não foi fornecido um parâmetro diretamente; isso significa que podemos escolher uma variável livre para parametrizar os pontos que satisfazem as duas equações.]
Passo 2
Escolher uma forma prática de descrever todos os pontos que satisfazem o sistema: usar um parâmetro. Uma maneira simples é tomar a variável
como parâmetro. Defina
onde
é um número real que percorre toda a reta. Agora substitua
nas equações para obter
e
em função de
:
Portanto os pontos da reta podem ser escritos de forma paramétrica como
Explicação didática rápida: escolher uma variável como parâmetro significa “varrer” a reta fazendo essa variável mudar; as outras coordenadas são expressas em função desse parâmetro. Aqui
é a coordenada livre que identifica cada ponto da reta.
Passo 3
Reescrever a parametrização destacando um ponto particular e o vetor que multiplica
. Faça manipulação algébrica simples:
Isto mostra duas coisas úteis:
- Um ponto particular da reta é
, que corresponde a . - Um vetor diretor da reta é
, pois é o vetor que multiplica o parâmetro na escrita afim.
Explicação do conceito de vetor diretor: se a posição de um ponto na reta é dada por
, então
é um vetor diretor porque ao variar
movemos o ponto ao longo da direção de
. Qualquer múltiplo escalar de
também serve como vetor diretor.
Passo 4
Agora responda à pergunta específica sobre o ponto com abscissa nula. “Abscissa nula” significa
. Na parametrização
isso implica
. Substituindo em
obtemos o ponto
E o vetor diretor já identificado na Passo 3 é
Observação prática para a prova: se preferir outro parâmetro, por exemplo
(que aqui coincide com
), chega-se ao mesmo vetor diretor; o importante é expressar a reta como um ponto inicial mais um parâmetro vezes o vetor diretor.