Questão 1) (2 pontos) Usando a fórmula de De Moivre, calcule:
(-1-i \sqrt{3})^{100}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1 - i\sqrt{3})^{100} usando a fórmula de De Moivre. Vamos precisar expressar o número complexo na forma polar re^{i\theta} (ou r\cis\theta), aplicar a potência e depois voltar para a forma a+bi.

Passo 2

Calculamos o módulo r e o argumento \theta de z = -1 - i\sqrt{3}.
r = |z| = \sqrt{(-1)^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2.
Para o argumento, note que \tan\theta = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}. Como \Re(z)<0 e \Im(z)<0, z está no terceiro quadrante e o ângulo principal é
\theta = -\frac{2\pi}{3} \quad\text{(equivalente a }4\pi/3\text{).}
Logo
z = 2\cis\Bigl(-\frac{2\pi}{3}\Bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
z^{100} = 2^{100}\cis\Bigl(100\cdot(-\tfrac{2\pi}{3})\Bigr) = 2^{100}\cis\Bigl(-\tfrac{200\pi}{3}\Bigr).
Para reduzir o ângulo módulo 2\pi, note que
-\frac{200\pi}{3} = -66\pi - \frac{2\pi}{3}
e -66\pi é múltiplo de 2\pi. Logo o ângulo efetivo é -\tfrac{2\pi}{3} (ou 4\pi/3).

Passo 4

Agora usamos as razões trigonométricas em \theta = -\tfrac{2\pi}{3}:
\cos\Bigl(-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = -\frac{1}{2}, \quad \sin\Bigl(-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
z^{100} = 2^{100}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + i\,\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) = -2^{99} \;-\; i\,2^{99}\sqrt{3}.

Resposta

(-1 - i\sqrt{3})^{100} = -2^{99} \;-\; i\,2^{99}\sqrt{3}.

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