Questão 1) (2 pontos) Usando a fórmula de De Moivre, calcule:
(\sqrt{2}+i \sqrt{2})^{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\sqrt{2}+i\sqrt{2})^{7} usando a fórmula de De Moivre. Para isso vamos converter o número para forma polar, aplicar De Moivre e depois voltar à forma retangular.

Passo 2

Seja z = \sqrt{2}+i\sqrt{2}. Primeiro encontramos o módulo r e o argumento \theta:
r = |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = 2,
\theta = \arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr) = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}.
Logo, z = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{4})+i\sin(\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre, para z = r(\cos\theta+i\sin\theta) vale
z^{7} = r^{7}\bigl(\cos(7\theta)+i\sin(7\theta)\bigr).
Substituindo r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{4} obtemos
z^{7} = 2^{7}\bigl(\cos(\tfrac{7\pi}{4})+i\sin(\tfrac{7\pi}{4})\bigr) = 128\bigl(\cos(\tfrac{7\pi}{4})+i\sin(\tfrac{7\pi}{4})\bigr).

Passo 4

Sabendo que \cos(\tfrac{7\pi}{4}) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(\tfrac{7\pi}{4}) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
z^{7} = 128\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\Bigr) = 128\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) - i\,128\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = 64\sqrt{2} - i\,64\sqrt{2}.

Resposta

64\sqrt{2} - i\,64\sqrt{2}

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