Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0,-3) e tem a direção do vetor v=2i+4j+5k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações reduzidas de uma reta no espaço tridimensional, onde x é a variável independente. A reta passa pelo ponto A(4, 0, -3) e tem a direção do vetor v = 2i + 4j + 5k. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas e reduzidas de retas no espaço.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma reta no espaço pode ser descrita através de equações paramétricas. Isso significa que cada coordenada de um ponto qualquer na reta (x, y, z) é expressa em função de um parâmetro, geralmente representado por $ t $.

Passo 3

As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto da reta (no caso, o ponto A(4, 0, -3)) e v = ai + bj + ck é o vetor diretor da reta.

Passo 4

No nosso caso, o ponto A tem coordenadas (4, 0, -3) e o vetor diretor v = 2i + 4j + 5k, ou seja:
  • a = 2
  • b = 4
  • c = 5

Passo 5

Substituindo esses valores nas equações paramétricas, temos:
x = 4 + 2t y = 0 + 4t z = -3 + 5t

Passo 6

Agora, queremos as equações reduzidas com x como variável independente. Para isso, vamos expressar o parâmetro $ t $ em função de $ x $ a partir da primeira equação e substituir nas demais.
Da equação $ x = 4 + 2t $, isolamos $ t $:
t

Passo 7

Substituindo $ t $ nas equações de y e z:
Para y:
t
Para z:
y = 4t = 4 ( x - 42 ) = 2(x - 4) = 2x - 8
Simplificando:
z = -3 + 5t = -3 + 5 ( x - 42 ) = -3 + 52(x - 4)

Resposta

As equações reduzidas da reta, com $ x $ como variável independente, são:
x
y = 2x - 8

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