Uma esfera se diz inscrita em um cilindro circular se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e as bases do cilindro. Nesse caso diz-se, também, que o cilindro está circunscrito à esfera. Uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto. Calcule a razão entre os volumes do cilindro e da esfera, nessa ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera inscrita em um cilindro circular reto. Nosso objetivo é encontrar a razão entre o volume do cilindro e o volume da esfera. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume tanto do cilindro quanto da esfera e entender como eles se relacionam quando a esfera está inscrita no cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de volume:
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Volume do cilindro (V_cilindro):onde $ r $ é o raio da base do cilindro e $ h $ é a altura.
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Volume da esfera (V_esfera):onde $ R $ é o raio da esfera.
Passo 3
Como a esfera está inscrita no cilindro, ela toca todas as geratrizes e as bases do cilindro. Isso significa que o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro e também ao diâmetro da base do cilindro.
Então, temos:
Porque o diâmetro do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, que é $ 2R $.
Passo 4
Agora, substituímos essas relações nas fórmulas de volume que mencionamos.
Para o cilindro:
Para a esfera:
Passo 5
Finalmente, queremos a razão entre o volume do cilindro e o volume da esfera:
Resposta
Simplificando a expressão:
Então, a razão entre o volume do cilindro e o da esfera é $ \frac{3}{2} $.