Uma esfera se diz inscrita em um cilindro circular se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e as bases do cilindro. Nesse caso diz-se, também, que o cilindro está circunscrito à esfera. Uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto. Calcule a razão entre os volumes do cilindro e da esfera, nessa ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera inscrita em um cilindro circular reto. Nosso objetivo é encontrar a razão entre o volume do cilindro e o volume da esfera. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume tanto do cilindro quanto da esfera e entender como eles se relacionam quando a esfera está inscrita no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de volume:
  • Volume do cilindro (V_cilindro):
    Vcilindro = pi r^2 h
    onde $ r $ é o raio da base do cilindro e $ h $ é a altura.
  • Volume da esfera (V_esfera):
    r
    onde $ R $ é o raio da esfera.

Passo 3

Como a esfera está inscrita no cilindro, ela toca todas as geratrizes e as bases do cilindro. Isso significa que o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro e também ao diâmetro da base do cilindro.
Então, temos:
A
Raio do cilindro = R
Porque o diâmetro do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, que é $ 2R $.

Passo 4

Agora, substituímos essas relações nas fórmulas de volume que mencionamos.
Para o cilindro:
Vcilindro = pi r^2 h = pi R^2 times 2R = 2pi R^3
Para a esfera:
Vesfera = 43 pi R^3

Passo 5

Finalmente, queremos a razão entre o volume do cilindro e o volume da esfera:
Razão = VcilindroVesfera = 2pi R^343 pi R^3 ã

Resposta

Simplificando a expressão:
2pi R^343 pi R^3 = 243 = 2 times 34 = 64 = 32
Então, a razão entre o volume do cilindro e o da esfera é $ \frac{3}{2} $.

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