A distribuição de um determinado parâmetro obedece a um modelo normal com média μ desconhecida e com variância σ² igual a 25. Uma amostra aleatória de tamanho 20 forneceu média amostral igual a 1. 14. Com coeficiente de confiança de 95%, o valor de Z c⁄2 é igual a 1,96. Para essa situação, o intervalo de confiança para a média populacional μ é de:
a. [994;1. 034]
b. [1. 012;1. 016]
c. [1. 003;1. 025]
d. [1. 008;1. 020]
e. [919;1. 109].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um modelo normal com média desconhecida (μ) e variância conhecida (σ² = 25). Tiramos uma amostra de tamanho 20 e a média dela foi 1,14. Queremos encontrar o intervalo de confiança de 95% para a média populacional μ. Para isso, vamos usar o coeficiente de confiança de 95%, que nos dá o valor de Zc/2 igual a 1,96. Vamos precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o intervalo de confiança quando a variância é conhecida. A fórmula é:
Intervalo de Confiança = barx pm Zc2 times sigmaraizn ç
Onde:
  • barx é a média amostral
  • Zc2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
  • sigma é o desvio padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • barx = 1,14
  • Zc2 = 1,96
  • sigma^2 = 25, então sigma = raiz25 = 5
  • n = 20

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn:
5raiz20 = 54,4721 approx 1,118

Passo 5

Em seguida, multiplicamos o valor de Zc2 pelo erro padrão:
1,96 times 1,118 approx 2,19

Passo 6

Agora, vamos montar o intervalo de confiança:
1,14 pm 2,19
Isso significa que:
1,14 - 2,19 = -1,05 e 1,14 + 2,19 = 3,33

Passo 7

No entanto, ao olhar as opções, percebemos que nenhum intervalo corresponde a [-1,05; 3,33]. Isso indica que pode ter havido um erro nos cálculos ou na interpretação. Vamos revisar:
Parece que usamos a fórmula correta, mas talvez tenha algo errado com a variância ou o desvio padrão. Vamos verificar novamente:
sigma = raiz25 = 5
5raiz20 approx 1,118
1,96 times 1,118 approx 2,19
1,14 - 2,19 = -1,05 e 1,14 + 2,19 = 3,33
Ainda assim, não bate com as opções. Talvez a variância esteja sendo usada de forma diferente ou há outra abordagem. Vamos tentar calcular usando o desvio padrão da amostra.

Passo 8

Se considerarmos que a variância é 25, o desvio padrão é 5. Mas parece que o intervalo correto não está nas opções. Vamos recalcular com mais cuidado:
Erro padrão = 5raiz20 approx 1,118 ã
Mar>=m de erro = 1,96 times 1,118 approx 2,19
Intervalo = 1,14 pm 2,19 Rightarrow [-1,05; 3,33]
Como as opções não incluem esse intervalo, pode haver um erro na questão ou na interpretação dos dados. No entanto, considerando que as opções são todas positivas e próximas de 1, podemos reavaliar assumindo que a variância esteja sendo usada de forma diferente.

Passo 9

Vamos tentar usar a variância direta na fórmula:
Intervalo de Confiança = barx pm Zc2 times sigmaraizn = 1,14 pm 1,96 times 5raiz20 approx 1,14 pm 2,19 ç
Ainda assim, não bate. Pode ser que a variância correta seja o desvio padrão.

Passo 10

Suspeitando de um erro na interpretação, vamos tentar usar a variância como sigma = 25:
Erro padrão = 25raiz20 approx 5,59 ã
Mar>=m de erro = 1,96 times 5,59 approx 10,96
Intervalo = 1,14 pm 10,96 Rightarrow [-9,82; 12,10]
Ainda fora das opções. Parece que a abordagem inicial estava correta, mas as opções da questão não correspondem ao cálculo realizado.

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde ao intervalo de confiança calculado. Pode haver um erro na formulação da questão ou nos dados fornecidos.

Exercícios relacionados