A distribuição de um determinado parâmetro obedece a um modelo normal com média μ desconhecida e com variância σ² igual a 25. Uma amostra aleatória de tamanho 20 forneceu média amostral igual a 1. 14. Com coeficiente de confiança de 95%, o valor de Z c⁄2 é igual a 1,96. Para essa situação, o intervalo de confiança para a média populacional μ é de:
a. [994;1. 034]
b. [1. 012;1. 016]
c. [1. 003;1. 025]
d. [1. 008;1. 020]
e. [919;1. 109].
a. [994;1. 034]
b. [1. 012;1. 016]
c. [1. 003;1. 025]
d. [1. 008;1. 020]
e. [919;1. 109].
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um modelo normal com média desconhecida (μ) e variância conhecida (σ² = 25). Tiramos uma amostra de tamanho 20 e a média dela foi 1,14. Queremos encontrar o intervalo de confiança de 95% para a média populacional μ. Para isso, vamos usar o coeficiente de confiança de 95%, que nos dá o valor de Zc/2 igual a 1,96. Vamos precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o intervalo de confiança quando a variância é conhecida. A fórmula é:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado -
é o desvio padrão da população -
é o tamanho da amostra
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
-
-
-
, então -
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é
:
Passo 5
Em seguida, multiplicamos o valor de
pelo erro padrão:
Passo 6
Agora, vamos montar o intervalo de confiança:
Isso significa que:
Passo 7
No entanto, ao olhar as opções, percebemos que nenhum intervalo corresponde a [-1,05; 3,33]. Isso indica que pode ter havido um erro nos cálculos ou na interpretação. Vamos revisar:
Parece que usamos a fórmula correta, mas talvez tenha algo errado com a variância ou o desvio padrão. Vamos verificar novamente:
Ainda assim, não bate com as opções. Talvez a variância esteja sendo usada de forma diferente ou há outra abordagem. Vamos tentar calcular usando o desvio padrão da amostra.
Passo 8
Se considerarmos que a variância é 25, o desvio padrão é 5. Mas parece que o intervalo correto não está nas opções. Vamos recalcular com mais cuidado:
Como as opções não incluem esse intervalo, pode haver um erro na questão ou na interpretação dos dados. No entanto, considerando que as opções são todas positivas e próximas de 1, podemos reavaliar assumindo que a variância esteja sendo usada de forma diferente.
Passo 9
Vamos tentar usar a variância direta na fórmula:
Ainda assim, não bate. Pode ser que a variância correta seja o desvio padrão.
Passo 10
Suspeitando de um erro na interpretação, vamos tentar usar a variância como
:
Ainda fora das opções. Parece que a abordagem inicial estava correta, mas as opções da questão não correspondem ao cálculo realizado.
Resposta
Nenhuma das opções apresentadas corresponde ao intervalo de confiança calculado. Pode haver um erro na formulação da questão ou nos dados fornecidos.