Determinar se as equações são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução.
(2 x+3) d x+(2 y-2) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x+3),dx + (2y-2),dy = 0
O conteúdo aqui é o de equação exata. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. identificar M(x,y) e N(x,y);
  2. checar a condição de exatidão
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x;
  1. se for exata, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
dPhi = M,dx + N,dy

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x + 3, N(x,y) = 2y - 2
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe Phi(x,y) com
partial Phipartial x = M(x,y) = 2x + 3
Integrando em x:
Phi(x,y) = integral (2x+3),dx = x^2 + 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos
partial Phipartial y = h'(y) = N(x,y) = 2y - 2
Logo
h'(y) = 2y - 2 Longrightarrow h(y) = y^2 - 2y + C1
Substituindo em Phi:
Phi(x,y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y + C1
A solução geral vem de Phi(x,y)=constante.

Resposta

A equação é exata e a solução implícita geral é
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C

Exercícios relacionados