Um termômetro é levado para fora de um quarto, onde a temperatura ambiente é 5^0 F. Após 1 minuto, o termômetro marca 55^circ F, e após 5 minutos, 30^circ F. Qual era a temperatura inicial do quarto?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura inicial do quarto (que chamaremos de T0) sabendo que, ao levar o termômetro para fora, a temperatura ambiente é ,5^circF e o termômetro marca 55^circF após 1 min e 30^circF após 5 min. Vamos usar a Lei de Newton do resfriamento, que diz que\r
dTdt=-kl(T-Tsr),\r
onde Ts é a temperatura do meio externo (aqui 5^circF) e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 2

A solução geral dessa equação é\r
T(t)=Ts+l(T0-Tsr)e^-k,t \r
Substituindo Ts=5, obtemos\r
T(t)=5+l(T0-5r)e^-k,t

Passo 3

Usando a leitura em t=1 min, T(1)=55, temos\r
55 = 5 + (T0-5)e^-k Longrightarrow (T0-5)e^-k = 50 tag1

Passo 4

Usando a leitura em t=5 min, T(5)=30, temos\r
30 = 5 + (T0-5)e^-5k Longrightarrow (T0-5)e^-5k = 25 tag2

Passo 5

Dividindo (2) por (1) para eliminar T0-5,\r
(T0-5)e^-5k(T0-5)e^-k = 2550 ;Longrightarrow; e^-4k = tfrac12 ;Longrightarrow; -4k = ln!l(tfrac12r) = -ln2 ;Longrightarrow; k = ln24

Passo 6

Voltando em (1),\r
(T0-5)e^-k = 50 ;Longrightarrow; T0-5 = 50,e^k = 50,e^ln24 = 50cdot2^tfrac14 \r
Logo,\r
T0 = 5 + 50cdot2^tfrac14 approx 5 + 50cdot1,1892 approx 64,46

Resposta

A temperatura inicial do quarto era aproximadamente 64,46^circF.

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