Determinar as equações de transformação de coordenadas cilíndricas para retangulares.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A tarefa é determinar as equações que fazem a conversão de coordenadas cilíndricas para retangulares. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde trabalhamos com diferentes sistemas de coordenadas e como passar de um para o outro. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada sistema funciona e utilizar um pouco de trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona cada sistema de coordenadas. No sistema retangular (ou cartesiano), um ponto no espaço é representado por três coordenadas: (x, y, z). Aqui, x e y são as posições no plano horizontal e z é a altura.
Já no sistema cilíndrico, um ponto é representado por (ρ, θ, z). Nesse caso:
- ρ (rho) é a distância do ponto até a origem no plano horizontal.
- θ (theta) é o ângulo formado entre a linha que liga a origem ao ponto e o eixo x.
- z é a mesma coordenada de altura do sistema retangular.
Passo 3
Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, precisamos expressar as coordenadas x e y em termos de ρ e θ. Pensando no plano horizontal, a distância ρ pode ser dividida nas suas projeções nos eixos x e y usando funções trigonométricas.
Passo 4
Vamos usar as seguintes relações trigonométricas para encontrar x e y:
E a coordenada z permanece igual:
Passo 5
Com essas relações, já temos as equações que fazem a conversão das coordenadas cilíndricas para retangulares. Basta substituir os valores de ρ e θ para encontrar x e y no sistema retangular, mantendo z igual.
Resposta
As equações de transformação de coordenadas cilíndricas para retangulares são: