Exprimir a velocidade y e a aceleração a de uma particula em coordenadas cilindricas, onde o vetor posição pode ser representado por r.
r=x i+y j+z k

Passo 1

Estamos querendo escrever a velocidade e a aceleração de uma partícula em coordenadas cilíndricas, ou seja, substituir as componentes cartesianas \ $x,y,z$ pelas coordenadas \ $r,\theta,z$ e usar os versores \ $\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_z$. Para isso vamos precisar das relações entre coordenadas e das derivadas dos versores cilíndricos.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Os versores são dados por:

Passo 3

O vetor posição fica então:
vec r = r,hat er + z,hat ez
Agora a ideia é diferenciar esse vetor em relação ao tempo para obter velocidade e depois aceleração.

Passo 4

Para achar a velocidade usamos vec v = dfracdvec rdt e lembramos que
Aplicando produto e regra de cadeia obtemos:

Passo 5

Para a aceleração usamos vec a = dfracdvec vdt. Novamente derivamos cada termo e aplicamos as derivadas dos versores:

Resposta

$$\vec v = \dot r,\hat e_r + r,\dot\theta,\hat e_\theta + \dot z,\hat e_z,\
\vec a = (\ddot r - r,\dot\theta^2),\hat e_r + (r,\ddot\theta + 2,\dot r,\dot\theta),\hat e_\theta + \ddot z,\hat e_z$$

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