Exprimir a velocidade y e a aceleração a de uma particula em coordenadas cilindricas, onde o vetor posição pode ser representado por
.
Passo 1
Estamos querendo escrever a velocidade e a aceleração de uma partícula em coordenadas cilíndricas, ou seja, substituir as componentes cartesianas \ $x,y,z$ pelas coordenadas \ $r,\theta,z$ e usar os versores \ $\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_z$. Para isso vamos precisar das relações entre coordenadas e das derivadas dos versores cilíndricos.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos:
Os versores são dados por:
Passo 3
O vetor posição fica então:
Agora a ideia é diferenciar esse vetor em relação ao tempo para obter velocidade e depois aceleração.
Passo 4
Para achar a velocidade usamos
e lembramos que
Aplicando produto e regra de cadeia obtemos:
Passo 5
Para a aceleração usamos
. Novamente derivamos cada termo e aplicamos as derivadas dos versores:
Resposta
$$\vec v = \dot r,\hat e_r + r,\dot\theta,\hat e_\theta + \dot z,\hat e_z,\
\vec a = (\ddot r - r,\dot\theta^2),\hat e_r + (r,\ddot\theta + 2,\dot r,\dot\theta),\hat e_\theta + \ddot z,\hat e_z$$