Determinar, se existir uma função que tenha por campo gradiente cada campo F(x, y) ou F(x, y, z) se guinte:
F(x, y, z)=(3 x^2, 3 y^2, 3 z^2), forall(x, y, z) in R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se existe uma função cuja derivada em todas as direções (o campo gradiente) seja exatamente o campo vetorial dado: F(x, y, z)=(3 x^2, 3 y^2, 3 z^2). Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um campo gradiente. Uma função f(x, y, z) tem um campo gradiente F se F for igual às derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ou seja:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 3

Para que exista tal função f, o campo F precisa ser conservativo. Uma condição chave pra isso é que o rotacional de F seja zero. Vamos verificar isso.

Passo 4

Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Substituindo F = (3x^2, 3y^2, 3z^2):
nabla times F = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0)
Como o rotacional é zero, o campo é conservativo e existe uma função potencial f.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função f. Sabemos que:
partial fpartial x = 3x^2
Integrando em relação a x:
f(x, y, z) = x^3 + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que só depende de y e z.

Passo 6

Vamos usar a segunda componente do gradiente:
partial fpartial y = 3y^2
Derivando f = x^3 + g(y, z) em relação a y:
partial fpartial y = partial gpartial y = 3y^2
Integrando em relação a y:
g(y, z) = y^3 + h(z)
Onde h(z) é uma função que só depende de z.

Passo 7

Agora, substituímos g(y, z) na expressão de f:
f(x, y, z) = x^3 + y^3 + h(z)
Usando a terceira componente do gradiente:
partial fpartial z = 3z^2
Derivando f em relação a z:
partial fpartial z = partial hpartial z = 3z^2
Integrando em relação a z:
h(z) = z^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Então, existe sim uma função que atende ao critério. A função é:
f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 + C
onde C é uma constante qualquer.

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