Determinar, se existir uma função que tenha por campo gradiente cada campo
ou
se guinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se existe uma função cuja derivada em todas as direções (o campo gradiente) seja exatamente o campo vetorial dado:
. Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um campo gradiente. Uma função
tem um campo gradiente
se
for igual às derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Para que exista tal função
, o campo
precisa ser conservativo. Uma condição chave pra isso é que o rotacional de
seja zero. Vamos verificar isso.
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
Substituindo
:
Como o rotacional é zero, o campo é conservativo e existe uma função potencial
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que só depende de
e
.
Passo 6
Vamos usar a segunda componente do gradiente:
Derivando
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que só depende de
.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Usando a terceira componente do gradiente:
Derivando
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Então, existe sim uma função que atende ao critério. A função é:
onde
é uma constante qualquer.