Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sqrt[3]{x^{3}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá: calcular
\lim_{x\to 1^{-}} \sqrt[3]{x^{3}-1}.
Informações relevantes:
  • O limite é lateral pela esquerda: x\to1^{-} significa que estamos chegando em 1 por valores x<1.
  • A expressão dentro da raiz é x^{3}-1. Para x<1 temos x^{3}-1<0 (é negativo), mas quando x se aproxima de 1 esse valor tende a zero.

Passo 2

Analisar primeiro o comportamento de x^{3}-1 quando x\to1^{-}. Podemos usar a fatoração clássica
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Ao fazer x\to1 temos x-1\to0 e x^{2}+x+1\to 1^{2}+1+1=3. Portanto o produto tende a 0. Assim
\lim_{x\to1^{-}}(x^{3}-1)=0.
Observação sobre o sinal: para x<1 tem-se x-1<0 e x^{2}+x+1>0 (próximo de 1 vale cerca de 3), logo x^{3}-1 é negativo e tende a 0 vindo de valores negativos.

Passo 3

Agora trate a função cúbica raiz. A função
g(t)=\sqrt[3]{t}
é contínua para todo t\in\mathbb{R} (é a inversa da função t\mapsto t^{3}, que é contínua e estritamente crescente). Pela continuidade, o limite da composição é a composição dos limites. Logo podemos trocar limite e função:
\lim_{x\to1^{-}}\sqrt[3]{x^{3}-1}=\sqrt[3]{\lim_{x\to1^{-}}(x^{3}-1)}.

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 2 dentro da raiz cúbica:
\sqrt[3]{\lim_{x\to1^{-}}(x^{3}-1)}=\sqrt[3]{0}=0.
Comentário final: embora para x<1 os valores de \sqrt[3]{x^{3}-1} sejam negativos, eles ficam cada vez mais próximos de 0 quando x se aproxima de 1 pela esquerda.

Resposta

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