Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{\sqrt[4]{x}}{x^{2}-16}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to 4^-}\frac{\sqrt[4]{x}}{x^{2}-16}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x}}{x^{2}-16}.
  • Queremos o comportamento quando x tende a 4 pela esquerda (valores menores que 4).

Passo 2

Primeiro veja o que acontece se substituirmos x=4 diretamente:
  • O numerador tende a \sqrt[4]{4}. Logo
\lim_{x\to4^-}\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{4}>0.
  • O denominador em x=4 vale 4^{2}-16=16-16=0. Portanto o denominador tende a 0.
Como o numerador tende a um número finito e estritamente positivo e o denominador tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo; resta determinar o sinal (mais ou menos infinito).

Passo 3

Para analisar o sinal e a ordem do zero do denominador, fatoramos:
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
Quando x\to4 tem-se x+4\to 8>0. Assim o sinal do denominador próximo de 4 é o mesmo do fator (x-4).

Passo 4

Escrevemos a expressão como produto para separar o fator que se anula:
\frac{\sqrt[4]{x}}{x^{2}-16}=\frac{\sqrt[4]{x}}{x+4}\cdot\frac{1}{x-4}.
Agora analise cada fator quando x\to4^-:
  • \displaystyle\lim_{x\to4^-}\frac{\sqrt[4]{x}}{x+4}=\frac{\sqrt[4]{4}}{8}>0 (uma constante positiva).
  • Quando x\to4^- temos x-4\to0^-, então
\frac{1}{x-4}\to -\infty.

Passo 5

O produto de uma constante positiva por -\infty é -\infty. Portanto
\lim_{x\to4^-}\frac{\sqrt[4]{x}}{x^{2}-16}=\left(\frac{\sqrt[4]{4}}{8}\right)\cdot(-\infty)=-\infty.

Passo 6

(Aqui uma forma alternativa, mais intuitiva, que reforça a mesma conclusão.) Faço a substituição x=4-t com t\to0^+. Então
x^{2}-16=(4-t)^{2}-16=16-8t+t^{2}-16=-8t+t^{2}=-t(8-t)\sim -8t.
E \sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{4-t}\to\sqrt[4]{4}. Assim para t\to0^+
\frac{\sqrt[4]{4-t}}{-8t+\text{(termo menor)}}\sim \frac{\sqrt[4]{4}}{-8t}\to -\infty,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\infty

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