Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \sqrt{(x-3)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular, se existir, o limite
\lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{(x-3)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \sqrt{(x-3)^{2}}.
  • O limite é lateral pela direita, ou seja, consideramos x aproximando-se de 3 com x>3.
  • Lembrete importante (informação que vale para toda a resolução): a raiz quadrada \sqrt{\cdot} retorna sempre o valor não negativo para números reais não negativos.

Passo 2

Simplificar a expressão usando uma identidade conhecida. Para todo número real t vale
\sqrt{t^{2}} = |t|.
Explicando isso de forma bem direta: t^{2} é sempre não negativo; a raiz quadrada \sqrt{t^{2}} devolve a raiz não negativa desse número, que é exatamente o valor absoluto de t. Exemplos rápidos: \sqrt{4}=2 e \sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2=|{-2}|.
Aplicando isso ao nosso caso com t=x-3, obtemos
\sqrt{(x-3)^{2}} = |x-3|.

Passo 3

Reescrever o valor absoluto em forma peça a peça (definição de valor absoluto). Para todo x\in\mathbb{R}\), \[|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{se } x\ge 3,\\[4pt] 3-x, & \text{se } x<3. \end{cases}
Explicando: o valor absoluto de uma diferença mede a distância, então se x\] já é maior ou igual a \(3 a distância é x-3; se x é menor que 3 a distância é 3-x.]

Passo 4

Usar que o limite é pela direita. Como estamos calculando \lim_{x\to 3^{+}}, consideramos valores de x tais que x>3 e próximos de 3. Para esses x a expressão se reduz à forma x-3. Logo
\lim_{x\to 3^{+}} \sqrt{(x-3)^{2}} = \lim_{x\to 3^{+}} |x-3| = \lim_{x\to 3^{+}} (x-3).

Passo 5

Calcular o limite simples. A função x-3 é contínua, então ao aproximar x de 3 obtemos
\lim_{x\to 3^{+}} (x-3) = 3-3 = 0.
Observação intuitiva: para x>3 e muito próximo de 3, x-3 é um número positivo muito pequeno, que tende a 0 quando x tende a 3. Portanto o limite pela direita é 0.

Resposta

0

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