Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular, se existir, o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O limite é lateral pela direita, ou seja, consideramos
aproximando-se de com . - Lembrete importante (informação que vale para toda a resolução): a raiz quadrada
retorna sempre o valor não negativo para números reais não negativos.
Passo 2
Simplificar a expressão usando uma identidade conhecida. Para todo número real
vale
Explicando isso de forma bem direta:
é sempre não negativo; a raiz quadrada
devolve a raiz não negativa desse número, que é exatamente o valor absoluto de
. Exemplos rápidos:
e
.
Aplicando isso ao nosso caso com
, obtemos
Passo 3
Reescrever o valor absoluto em forma peça a peça (definição de valor absoluto). Para todo
Explicando: o valor absoluto de uma diferença mede a distância, então se
a distância é
; se
é menor que
a distância é
.]
Passo 4
Usar que o limite é pela direita. Como estamos calculando
, consideramos valores de
tais que
e próximos de
. Para esses
a expressão se reduz à forma
. Logo
Passo 5
Calcular o limite simples. A função
é contínua, então ao aproximar
de
obtemos
Observação intuitiva: para
e muito próximo de
,
é um número positivo muito pequeno, que tende a
quando
tende a
. Portanto o limite pela direita é
.