Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite lateral esquerdo
Informações e observações fornecidas pelo enunciado:
- A variável
aproxima-se de pela esquerda (isto é, por valores menores que ). - A expressão é
. - Para a raiz
estar bem definida (como número real) é necessário que , ou seja . O ponto é o extremo do domínio da função, e a aproximação por valores menores que ( ) é admissível porque para esses a expressão está definida.
Passo 2
Analisar o comportamento do denominador perto de
. Escrever a parte dentro da raiz em fatorada útil:
Quando
temos
(positivo e próximo de
) e
(tende a zero por valores positivos, porque
). Assim a raiz pode ser vista como
Dessa forma o comportamento singular (que pode tornar o quociente grande) vem da fator
no denominador, que tende a
quando
.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável que deixe explícito o termo que vai a zero: defina
. Então
e
equivale a
. Substituindo na expressão:
Calcular o que está dentro da raiz:
Logo
Portanto a expressão fica
Passo 4
Estudar o limite quando
da expressão obtida. Observe que:
- O numerador
tende para (um número positivo). - O fator
tende para (um número positivo e finito). - O fator
tende para .
Assim, para
pequeno e positivo a expressão se comporta aproximadamente como
ou seja, um número positivo dividido por
que vai para zero. À medida que
fica arbitrariamente pequeno, o quociente cresce sem limite. Em particular o sinal do quociente é positivo porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos para
próximos de
pela esquerda.
Logo o valor da expressão tende para
quando
, o que equivale a dizer que
Passo 5
Interpretação final: o limite lateral esquerdo não é um número finito — a função diverge para mais infinito quando
se aproxima de
por valores menores. Isto acontece porque o denominador tende a zero positivamente mais rápido (como
) enquanto o numerador tende para
.