Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral esquerdo
\lim_{x\to 3^{-}} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Informações e observações fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x aproxima-se de 3 pela esquerda (isto é, por valores menores que 3).
  • A expressão é \dfrac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}.
  • Para a raiz \sqrt{9-x^{2}} estar bem definida (como número real) é necessário que 9-x^{2}\ge 0, ou seja |x|\le 3. O ponto x=3 é o extremo do domínio da função, e a aproximação por valores menores que 3 ( x\to 3^{-} ) é admissível porque para esses x a expressão está definida.

Passo 2

Analisar o comportamento do denominador perto de x=3. Escrever a parte dentro da raiz em fatorada útil:
9-x^{2}=(3-x)(3+x).
Quando x\to 3^{-} temos 3+x\to 6 (positivo e próximo de 6) e 3-x\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos, porque x<3). Assim a raiz pode ser vista como
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{(3-x)(3+x)}=\sqrt{3-x}\,\sqrt{3+x}.
Dessa forma o comportamento singular (que pode tornar o quociente grande) vem da fator \sqrt{3-x} no denominador, que tende a 0^{+} quando x\to 3^{-}.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável que deixe explícito o termo que vai a zero: defina h=3-x. Então x=3-h e x\to 3^{-} equivale a h\to 0^{+}. Substituindo na expressão:
\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{3-h}{\sqrt{9-(3-h)^{2}}}.
Calcular o que está dentro da raiz:
9-(3-h)^{2}=9-(9-6h+h^{2})=6h-h^{2}=h(6-h).
Logo
\sqrt{9-(3-h)^{2}}=\sqrt{h(6-h)}=\sqrt{h}\,\sqrt{6-h}.
Portanto a expressão fica
\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{3-h}{\sqrt{h}\,\sqrt{6-h}}.

Passo 4

Estudar o limite quando h\to 0^{+} da expressão obtida. Observe que:
  • O numerador 3-h tende para 3 (um número positivo).
  • O fator \sqrt{6-h} tende para \sqrt{6} (um número positivo e finito).
  • O fator \sqrt{h} tende para 0^{+}.
Assim, para h pequeno e positivo a expressão se comporta aproximadamente como
\frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{h}},
ou seja, um número positivo dividido por \sqrt{h} que vai para zero. À medida que \sqrt{h} fica arbitrariamente pequeno, o quociente cresce sem limite. Em particular o sinal do quociente é positivo porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos para x próximos de 3 pela esquerda.
Logo o valor da expressão tende para +\infty quando h\to 0^{+}, o que equivale a dizer que
\lim_{x\to 3^{-}} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}=+\infty.

Passo 5

Interpretação final: o limite lateral esquerdo não é um número finito — a função diverge para mais infinito quando x se aproxima de 3 por valores menores. Isto acontece porque o denominador tende a zero positivamente mais rápido (como \sqrt{3-x}) enquanto o numerador tende para 3.

Resposta

+\infty

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