Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} 2(5+|6 x-3|)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 1 da função
2\bigl(5+|6x-3|\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão é 2\bigl(5+|6x-3|\bigr).
  • Quer-se \lim_{x\to 1}2\bigl(5+|6x-3|\bigr).

Passo 2

Entender o que faz o valor absoluto. Para qualquer número u\) vale a definição \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
No nosso caso u=6x-3\]. Então precisamos saber o sinal de \(6x-3 quando x está perto de 1.]

Passo 3

Calcular o valor de 6x-3 no ponto x=1:
6\cdot 1 - 3 = 3.
Como 3>0, o interior do valor absoluto é positivo no próprio ponto x=1. Para limites é suficiente que o termo seja positivo em alguma vizinhança de 1. Vamos mostrar um intervalo em que isso acontece: se |x-1|<\tfrac{1}{6} então
6|x-1|<1 \quad\Rightarrow\quad 6x-3 = 3 + 6(x-1) \ge 3 - 6|x-1| > 3-1 = 2>0.
Logo, para todos x com |x-1|<\tfrac{1}{6} temos 6x-3>0, e portanto nessa vizinhança
|6x-3| = 6x-3.

Passo 4

Com isso podemos substituir o valor absoluto por 6x-3 ao calcular o limite:
\lim_{x\to 1}2\bigl(5+|6x-3|\bigr) = \lim_{x\to 1}2\bigl(5+(6x-3)\bigr).
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
5+(6x-3) = 2 + 6x,
portanto a função fica
2(2+6x) = 4 + 12x.

Passo 5

Agora a função 4+12x é um polinômio (função linear), que é contínua em todo ponto; assim o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to 1}(4+12x) = 4 + 12\cdot 1 = 16.
(pequena intuição: como o valor absoluto não muda de forma perto de 1, é só simplificar e substituir).

Resposta

16

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