Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede que se determine o limite unilateral à esquerda:
\lim_{x\to 2^-} \frac{1}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • O limite é unicamente pela esquerda (indicado por 2^-), ou seja, consideram-se x<2 aproximando-se de 2.

Passo 2

O que significa limite pela esquerda?
A expressão \lim_{x\to 2^-} f(x)=L significa que, ao tomar valores de x que são menores que 2 mas se aproximam cada vez mais de 2, os valores de f(x) se aproximam de um número L. Se, ao invés de se aproximarem de um número finito, os valores crescem em módulo sem limite, dizemos que o limite diverge para +\infty ou para -\infty.

Passo 3

Análise do denominador quando x\to 2^-.
Para x<2 (mas muito perto de 2), a diferença x-2 é um número negativo e de pequena magnitude. Em outras palavras:
\text{se }x=1{,}9,\; x-2=-0{,}1;\qquad \text{se }x=1{,}99,\; x-2=-0{,}01;\qquad \text{se }x=1{,}999,\; x-2=-0{,}001.
À medida que x se aproxima de 2 pela esquerda, temos x-2\to 0 com sinal negativo (ou seja, x-2\to 0^-).

Passo 4

Comportamento de \dfrac{1}{x-2} quando o denominador é um pequeno número negativo.
Se o denominador tende para 0 através de valores negativos, então \dfrac{1}{\text{denominador}} tende para -\infty. Usando os exemplos numéricos:
\frac{1}{1{,}9-2}=\frac{1}{-0{,}1}=-10, \qquad \frac{1}{1{,}99-2}=\frac{1}{-0{,}01}=-100, \qquad \frac{1}{1{,}999-2}=\frac{1}{-0{,}001}=-1000.
Percebe-se que os valores ficam cada vez mais negativos em módulo grande; portanto a função não se aproxima de um número real finito, mas diverge para -\infty.

Passo 5

Conclusão: o limite unilateral pela esquerda é -\infty. Isso significa que o limite não existe como número real, mas diverge negativamente.

Resposta

-\infty

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