Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \sqrt{8-x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede calcular o limite lateral \displaystyle \lim_{x\to 2^-}\sqrt{8-x^{3}}.
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, logo só está definida quando o radicando é não negativo: 8-x^{3}\ge 0.
  • O limite é pela esquerda de 2, ou seja, consideramos valores de x que se aproximam de 2 com x<2.

Passo 2

Entender onde a expressão está definida (domínio) e o comportamento do radicando perto de 2.
  • Resolver 8-x^{3}\ge 0. Como a função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, a desigualdade equivale a
x^{3}\le 8 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le 2.
  • Conclusão: a função \sqrt{8-x^{3}} está definida para todos os x com x\le 2. Em particular, para x aproximando 2 pela esquerda ( x<2) o radicando é positivo: 8-x^{3}>0.

Passo 3

Calcular o limite do radicando 8-x^{3} quando x\to 2^-.
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Assim, x^{3} é contínuo em x=2 e
\lim_{x\to 2^-} x^{3} = 2^{3}=8.
  • Portanto
\lim_{x\to 2^-} \bigl(8-x^{3}\bigr)=8- \lim_{x\to 2^-} x^{3}=8-8=0.
  • Observação do sinal: para x<2 o valor 8-x^{3} é estritamente positivo, logo ao aproximar 2 pela esquerda o radicando tende para 0 por valores positivos (tende a 0^{+}).

Passo 4

Usar continuidade da função raiz quadrada para passar o limite pelo radical.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em todo [0,\infty). Quando uma função interior tende a um valor L\ge 0 e a função externa é contínua em L, vale
\lim_{x\to a} \sqrt{\,f(x)\,} = \sqrt{\lim_{x\to a} f(x)}.
  • Aqui f(x)=8-x^{3} e já vimos que \lim_{x\to 2^-} f(x)=0 com 0\ge 0. Logo
\lim_{x\to 2^-} \sqrt{8-x^{3}} = \sqrt{\; \lim_{x\to 2^-}(8-x^{3})\;} = \sqrt{0}=0.

Passo 5

Interpretação final e comportamento: à medida que x chega a 2 por valores menores, 8-x^{3} fica pequeno e positivo, e a raiz quadrada desse número pequeno também tende a 0 por valores positivos. Portanto o limite lateral existe e vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados