Para as funções abaixo determine o conjunto imagem.
h(t)=|t^2-3 t+2|-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o conjunto imagem da função h(t) = |t^2 - 3t + 2| - 2 . Isso significa identificar todos os valores que h(t) pode assumir quando t varia sobre todos os números reais. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções quadráticas e propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão dentro do valor absoluto: t^2 - 3t + 2 . Essa é uma função quadrática padrão, que pode ser fatorada para facilitar a análise.

Passo 3

Fatorando t^2 - 3t + 2 :
t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)
As raízes dessa equação são t = 1 e t = 2 . O gráfico dessa parábola tem concavidade para cima, já que o coeficiente de t^2 é positivo.

Passo 4

Agora, vamos considerar o valor absoluto: |t^2 - 3t + 2| . O valor absoluto de uma função garante que os valores resultantes sejam sempre não negativos. Portanto, independentemente de t^2 - 3t + 2 ser positivo ou negativo, |t^2 - 3t + 2| será sempre maior ou igual a zero.

Passo 5

Para encontrar o conjunto imagem de h(t) , precisamos incluir o deslocamento vertical dado pelo “-2”. Então, temos:
h(t) = |t^2 - 3t + 2| - 2
Como |t^2 - 3t + 2| >= 0 , subtraindo 2, teremos que h(t) >= -2 .

Passo 6

Agora, vamos determinar os valores mínimos e máximos possíveis de h(t) . Sabemos que |t^2 - 3t + 2| atinge seu mínimo quando t^2 - 3t + 2 = 0 , ou seja, em t = 1 e t = 2 .

Passo 7

Em t = 1 :
h(1) = |1^2 - 3 cdot 1 + 2| - 2 = |0| - 2 = -2
Em t = 2 :
h(2) = |2^2 - 3 cdot 2 + 2| - 2 = |0| - 2 = -2
Então, o mínimo de h(t) é -2.

Passo 8

Como a parábola t^2 - 3t + 2 tende ao infinito positivo quando t tende a pm infty , o valor de |t^2 - 3t + 2| também tende ao infinito. Portanto, h(t) = |t^2 - 3t + 2| - 2 também tende ao infinito positivo.

Passo 9

Assim, o conjunto imagem de h(t) é todos os números reais maiores ou iguais a -2:
Ima>=m de h(t) = [-2, +infty)

Resposta

O conjunto imagem da função h(t) = |t^2 - 3t + 2| - 2 é [-2, +infty) .

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