Diga qual o domínio das funções:
f(x)=raiz[3]x^2-4 xx-1+ln (x^3-6 x^2+11 x-6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função:
f(x) = raiz[3]x^2 - 4xx - 1 + ln(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)
Isso significa descobrir todos os valores de x que fazem a função funcionar direitinho. Para resolver isso, vamos precisar entender três coisas principais:
  1. Raiz cúbica ( raiz[3],): Ela está definida para qualquer número real, positivo ou negativo.
  2. Logaritmo natural ( ln): Só funciona quando o que está dentro dele é positivo.
  3. Expressões com denominador: O denominador não pode ser zero, senão a divisão fica indefinida.
Vamos então analisar cada parte da função para encontrar as restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a raiz cúbica:
raiz[3]x^2 - 4xx - 1
Como a raiz cúbica está sempre definida, a única coisa que precisamos garantir aqui é que o denominador x - 1 não seja zero. Então:
x - 1 neq 0 implies x neq 1
Então, já sabemos que x = 1 não está no domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos para o logaritmo:
ln(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)
O logaritmo natural só está definido quando o argumento é positivo. Ou seja:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 > 0
Precisamos resolver essa desigualdade para descobrir para quais valores de x isso é verdade.

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 > 0
Primeiro, tentamos fatorar o polinômio. Vamos procurar por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere tentar x = 1, 2, 3 etc.
Testando x = 1 :
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Então, x = 1 é uma raiz. Vamos fatorar:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
Agora, fatoramos o quadrático:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Portanto, a fatoração completa fica:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 5

Agora, precisamos resolver:
(x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0
Vamos analisar os sinais do produto em diferentes intervalos de x :
  1. Para x < 1 :
    • x - 1 < 0
    • x - 2 < 0
    • x - 3 < 0
    • Produto: (-)(-)(-) = - (negativo)
  2. Para 1 < x < 2 :
    • x - 1 > 0
    • x - 2 < 0
    • x - 3 < 0
    • Produto: (+)(-)(-) = + (positivo)
  3. Para 2 < x < 3 :
    • x - 1 > 0
    • x - 2 > 0
    • x - 3 < 0
    • Produto: (+)(+)(-) = - (negativo)
  4. Para x > 3 :
    • x - 1 > 0
    • x - 2 > 0
    • x - 3 > 0
    • Produto: (+)(+)(+) = + (positivo)

Passo 6

Com base nisso, a desigualdade (x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0 é satisfeita quando:
  • Entre 1 e 2: 1 < x < 2
  • Maior que 3: x > 3
Lembrando que x = 1 está excluído do domínio devido ao denominador da raiz cúbica, então não consideramos x = 1 .

Resposta

O domínio da função é:
x in (1,,2) cup (3,,+infty)

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