Diga qual o domínio das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função:
Isso significa descobrir todos os valores de
que fazem a função funcionar direitinho. Para resolver isso, vamos precisar entender três coisas principais:
- Raiz cúbica (
): Ela está definida para qualquer número real, positivo ou negativo. - Logaritmo natural (
): Só funciona quando o que está dentro dele é positivo. - Expressões com denominador: O denominador não pode ser zero, senão a divisão fica indefinida.
Vamos então analisar cada parte da função para encontrar as restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a raiz cúbica:
Como a raiz cúbica está sempre definida, a única coisa que precisamos garantir aqui é que o denominador
não seja zero. Então:
Então, já sabemos que
não está no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos para o logaritmo:
O logaritmo natural só está definido quando o argumento é positivo. Ou seja:
Precisamos resolver essa desigualdade para descobrir para quais valores de
isso é verdade.
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, tentamos fatorar o polinômio. Vamos procurar por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere tentar
etc.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Vamos fatorar:
Agora, fatoramos o quadrático:
Portanto, a fatoração completa fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver:
Vamos analisar os sinais do produto em diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
-
-
- Produto:
(negativo)
-
-
Para
: -
-
-
- Produto:
(positivo)
-
-
Para
: -
-
-
- Produto:
(negativo)
-
-
Para
: -
-
-
- Produto:
(positivo)
-
Passo 6
Com base nisso, a desigualdade
é satisfeita quando:
- Entre 1 e 2:
- Maior que 3:
Lembrando que
está excluído do domínio devido ao denominador da raiz cúbica, então não consideramos
.
Resposta
O domínio da função é: