Determinar f(t) se L(f) vale:
11 s-14s^3-s^2-4 s+4

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Laplace
Lf(t)(s)=F(s)=11s-14s^3-s^2-4s+4
e pede f(t). O conteúdo é: fatorar o denominador em raízes reais, usar frações parciais para decompor F(s) em termos da forma tfracAs-a e depois aplicar a transformada inversa sabendo que
L^-1!l1s-ar=e^at

Passo 2

Fatoramos o denominador por agrupamento:
s^3-s^2-4s+4 = s^2(s-1)-4(s-1) = (s^2-4)(s-1) = (s-2)(s+2)(s-1)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
11s-14(s-1)(s-2)(s+2) =As-1+Bs-2+Cs+2
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s-2)(s+2) obtemos
11s-14 = A,(s-2)(s+2)+B,(s-1)(s+2)+C,(s-1)(s-2)

Passo 4

Expandimos cada termo e comparamos coeficientes de s^2, s e termo constante:
A(s^2-4)+B(s^2+s-2)+C(s^2-3s+2) =(A+B+C)s^2+(B-3C)s+(-4A-2B+2C)
Como isso deve igualar 0cdot s^2+11s-14, formamos o sistema
A+B+C=0, B-3C=11, -4A-2B+2C=-14
Resolvendo, achamos
B=2, C=-3, A=-B-C=1

Passo 5

Substituindo na decomposição:
F(s) =1s-1+2s-2-3s+2
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
L^-1!ltfrac1s-1r=e^t, L^-1!ltfrac2s-2r=2e^2t, L^-1!ltfrac3s+2r=3e^-2t
Portanto
f(t)=e^t+2e^2t-3e^-2t, t>=0

Resposta

f(t)=e^t+2e^2t-3e^-2t

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