9- (VALOR 0,7) Verifique se as r:cx=t-12 y=-t+2 z=3 t+2 e a reta s: 2-2 x4=-y=z+34 paralelas, reversas ou concorrentes. Em caso de concorrentes determine a interseção.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica/simétrica e pede para determinar se são paralelas, concorrentes (se intersectam) ou reversas (skew). O conteúdo aqui é posição relativa de retas no espaço. Vamos precisar:
  1. Colocar cada reta em forma vetorial: r(t)=r0 + t,v.
  2. Verificar se os vetores diretores são paralelos.
  3. Tentar resolver o sistema r(t)=s(lambda) para ver se há interseção.

Passo 2

Escrevemos a reta r em forma vetorial. Para
x=t-12, y=-t+2, z=3t+2
podemos tomar
r(t)=(t-1)/2-t+23t+2 =-tfrac1222 + ttfrac12-13
Logo r0=(-tfrac12,2,2) e v=(tfrac12,-1,3).

Passo 3

Parametrizamos a reta s a partir de
2-2x4=-y=z+34=lambda
Daí
2-2x=4lambdaimplies x=1-2lambda, -y=lambdaimplies y=-lambda, z+3=4lambdaimplies z=4lambda-3
Em forma vetorial:
s(lambda)=10-3 +lambda-2-14,
isto é s0=(1,0,-3) e w=(-2,-1,4).

Passo 4

Verificamos se v e w são paralelos, ou seja, se existe alpha tal que
(tfrac12,-1,3)=alpha(-2,-1,4)
Comparando componentes:
tfrac12=-2alphaimplies alpha=-tfrac14, -1=-1alphaimplies alpha=1
Não há alpha que satisfaça ambas, logo as retas não são paralelas.

Passo 5

Tentamos achar interseção resolvendo
r(t)=s(lambda)
Isto fornece o sistema
t-12=1-2lambda, -t+2=-lambda, 3t+2=4lambda-3
Das duas primeiras equações:
t-1=2-4lambdaimplies t=3-4lambda, -t+2=-lambdaimplies t=lambda+2
Igualando 3-4lambda=lambda+2 vem lambda=tfrac15 e t=tfrac115.
Substituindo na terceira equação:
3t+2=3cdottfrac115+2=tfrac435, 4lambda-3=4cdottfrac15-3=-tfrac115
Como tfrac435neq -tfrac115, não há solução comum.

Resposta

As retas são reversas (skew).

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