Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem.
Passo 1
Temos a equação
que é uma cônica geral em
. Para classificá-la vamos usar o discriminante
, encontrar o centro resolvendo
e, se for o caso, passar a eixos principais por rotação.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma
como
O discriminante é
Como
e
e
têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse (não degenerada).
Passo 3
Para encontrar o centro
resolvemos
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo o centro é
Passo 4
Para eliminar o termo
fazemos rotação de eixos em torno do centro. O ângulo
satisfaz
Passo 5
Nos eixos principais
a parte quadrática tem autovalores
Substituindo
e avaliando o valor constante em
obtém-se
Dividindo por
vem a forma canônica
que é uma elipse com semi-eixos
Resposta
A equação define uma elipse central, inclinada de
em relação ao eixo
, com centro em
e semi-eixos