Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem.
\mathrm{x}^{2}+2 x y+3 \mathrm{y}^{2}-\sqrt{2} x=0

Passo 1

Temos a equação
x^{2}+2xy+3y^{2}-\sqrt{2}\,x=0
que é uma cônica geral em x,y. Para classificá-la vamos usar o discriminante B^2-4AC, encontrar o centro resolvendo \nabla f=0 e, se for o caso, passar a eixos principais por rotação.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
como
A=1,\quad B=2,\quad C=3,\quad D=-\sqrt2,\quad E=0,\quad F=0.
O discriminante é
\Delta = B^2-4AC = 2^2 -4\cdot1\cdot3 = 4-12 = -8<0.
Como \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse (não degenerada).

Passo 3

Para encontrar o centro \bigl(x_0,y_0\bigr) resolvemos
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y-\sqrt2=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2x+6y=0.
Da segunda equação vem x=-3y. Substituindo na primeira:
-6y+2y-\sqrt2=0\implies y=-\frac{\sqrt2}{4}, \quad x=-3y=\frac{3\sqrt2}{4}.
Logo o centro é
\bigl(x_0,y_0\bigr) =\Bigl(\tfrac{3\sqrt2}{4},-\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr).

Passo 4

Para eliminar o termo xy fazemos rotação de eixos em torno do centro. O ângulo \theta satisfaz
\tan2\theta = \frac{B}{A-C} = \frac{2}{1-3} = -1 \;\Longrightarrow\; 2\theta = -\tfrac\pi4 \;\Longrightarrow\; \theta = -\tfrac\pi8 \; (=-22{,}5^\circ).

Passo 5

Nos eixos principais (u,v) a parte quadrática tem autovalores
\lambda_{1,2} =\frac{A+C\pm\sqrt{(A-C)^2+B^2}}{2} =\frac{1+3\pm\sqrt{4+4}}{2} =2\pm\sqrt2.
Substituindo (x,y)=(x_0,y_0)+(u,v) e avaliando o valor constante em (x_0,y_0) obtém-se
(2+\sqrt2)\,u^2+(2-\sqrt2)\,v^2=\frac{3}{4}.
Dividindo por \tfrac34 vem a forma canônica
\frac{u^2}{\tfrac{3}{4(2+\sqrt2)}}+\frac{v^2}{\tfrac{3}{4(2-\sqrt2)}}=1,
que é uma elipse com semi-eixos
a=\sqrt{\frac{3}{4(2-\sqrt2)}}, \quad b=\sqrt{\frac{3}{4(2+\sqrt2)}}.

Resposta

A equação define uma elipse central, inclinada de -22{,}5^\circ em relação ao eixo x, com centro em
\Bigl(\tfrac{3\sqrt2}{4},-\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)
e semi-eixos
a=\sqrt{\frac{3}{4(2-\sqrt2)}}, \quad b=\sqrt{\frac{3}{4(2+\sqrt2)}}.

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