Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem. -5 \times 2+2 x y-8 x z+2 y z=0
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação homogênea de segundo grau
-5x^2 \;+\;2xy\;-\;8xz\;+\;2yz \;=\;0.
Este é um caso de superfície quádrupla definida por uma forma quadrática homogênea em (x,y,z). Vamos usar a representação matricial da forma quadrática e analisar sua natureza pelo determinante e pela indefinição do sinal dos autovalores.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática como
\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0,
Como \det(A)\neq0, a forma é não degenerada. Mas, por ser homogênea e sem termos lineares ou constantes, trata-se de uma superfície cônica com vértice na origem.
Passo 4
Para distinguir se é cone real ou imaginário, notamos que A não é definida positiva nem definida negativa (há sinais mistos de autovalores). Isso significa que a equação
\mathbf x^T A\,\mathbf x = 0
é um cone quádruplo real (duas napas), pois há direções em que a forma quadrática é positiva e outras em que é negativa.
Passo 5
Por teorema de diagonalização ortogonal, existe mudança de variáveis (x,y,z)\to(u,v,w) que leva a equação a
\lambda_1u^2 + \lambda_2v^2 + \lambda_3w^2 = 0,
com sinais mistos em \lambda_i. Tomando a convenção \lambda_1>0, \lambda_2<0, \lambda_3<0, obtemos a forma canônica
u^2 \;-\;v^2\;-\;w^2 \;=\;0,
ou equivalentemente
u^2 = v^2 + w^2,
que é justamente um cone de revolução de duas napas (cone duplo real).
Resposta
A equação descreve um cone quádruplo real (um cone duplo) com vértice na origem, que em coordenadas principais fica