Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem.
-5 \times 2+2 x y-8 x z+2 y z=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação homogênea de segundo grau
-5x^2 \;+\;2xy\;-\;8xz\;+\;2yz \;=\;0.
Este é um caso de superfície quádrupla definida por uma forma quadrática homogênea em (x,y,z). Vamos usar a representação matricial da forma quadrática e analisar sua natureza pelo determinante e pela indefinição do sinal dos autovalores.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática como
\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0,
onde
A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & -4\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -4 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois os termos cruzados 2xy, -8xz, 2yz aparecem com metade em cada posição simétrica de A.

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar se é degenerado ou não:
\det(A) = -5\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ -4&0\end{pmatrix} -4\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ -4&1\end{pmatrix} =5 -4 -4 = -3 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, a forma é não degenerada. Mas, por ser homogênea e sem termos lineares ou constantes, trata-se de uma superfície cônica com vértice na origem.

Passo 4

Para distinguir se é cone real ou imagi­nário, notamos que A não é definida positiva nem definida negativa (há sinais mistos de autovalores). Isso significa que a equação
\mathbf x^T A\,\mathbf x = 0
é um cone quádruplo real (duas napas), pois há direções em que a forma quadrática é positiva e outras em que é negativa.

Passo 5

Por teorema de diagonalização ortogonal, existe mudança de variáveis (x,y,z)\to(u,v,w) que leva a equação a
\lambda_1u^2 + \lambda_2v^2 + \lambda_3w^2 = 0,
com sinais mistos em \lambda_i. Tomando a convenção \lambda_1>0, \lambda_2<0, \lambda_3<0, obtemos a forma canônica
u^2 \;-\;v^2\;-\;w^2 \;=\;0,
ou equivalentemente
u^2 = v^2 + w^2,
que é justamente um cone de revolução de duas napas (cone duplo real).

Resposta

A equação descreve um cone quádruplo real (um cone duplo) com vértice na origem, que em coordenadas principais fica
u^2 - v^2 - w^2 = 0.

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