Encontre os autovalores e autovetores que permitem solucionar a equação diferencial dada a seguir
\frac{d u}{d t}=\left|\begin{array}{ll} 4 & 3 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right| u
Que combinação u(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} x_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} x_{2} começa com u(0)=(5,-2) ?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais
\frac{du}{dt}=A\,u,
onde
A=\begin{pmatrix}4 & 3\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
e pede uma solução da forma
u(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}x_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}x_{2}
que satisfaça u(0)=(5,-2). Para isso vamos usar o método de autovalores e autovetores: primeiro achamos \lambda_{1},\lambda_{2}, depois x_{1},x_{2}, escrevemos a solução geral e finalmente escolhemos c_{1},c_{2} para ajustar a condição inicial.

Passo 2

Calcular os autovalores resolvendo
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 3\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=4, \quad \lambda_{2}=1.

Passo 3

Determinar os autovetores:
  1. Para \lambda_{1}=4, resolvemos
(A-4I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0 &3\\\ 0&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}=0
que dá 3x_{2}=0, então x_{2}=0 e x_{1} livre. Tomamos
x_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para \lambda_{2}=1, resolvemos
(A-1I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 &3\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}=0
que dá 3x_{1}+3x_{2}=0, ou x_{1}=-x_{2}. Tomamos
x_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral é combinação linear das modos:
u(t) =c_{1}e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}e^{t}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Impor a condição inicial u(0)=(5,-2)\): \[c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} c_{1}-c_{2}=5,\\\ \;0\;+\;c_{2}=-2, \end{cases}
cuja solução é \,c_{2}=-2\] e \(c_{1}=5-(-2)=3.

Resposta

A combinação que satisfaz u(0)=(5,-2) é
u(t) =3\,e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} -2\,e^{t}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

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