Encontre os autovalores e autovetores que permitem solucionar a equação diferencial dada a seguir \frac{d u}{d t}=\left|\begin{array}{ll} 4 & 3 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right| u Que combinação u(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} x_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} x_{2} começa com u(0)=(5,-2) ? Passo 1O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais \frac{du}{dt}=A\,u, onde A=\begin{pmatrix}4 & 3\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, e pede uma solução da forma u(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}x_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}x_{2} que satisfaça u(0)=(5,-2). Para isso vamos usar o método de autovalores e autovetores: primeiro achamos \lambda_{1},\lambda_{2}, depois x_{1},x_{2}, escrevemos a solução geral e finalmente escolhemos c_{1},c_{2} para ajustar a condição inicial. Passo 2Calcular os autovalores resolvendo \det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 3\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)=0. Logo os autovalores são \lambda_{1}=4, \quad \lambda_{2}=1. Passo 3Determinar os autovetores: Para \lambda_{1}=4, resolvemos (A-4I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0 &3\\\ 0&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}=0 que dá 3x_{2}=0, então x_{2}=0 e x_{1} livre. Tomamos x_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}. Para \lambda_{2}=1, resolvemos (A-1I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 &3\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}=0 que dá 3x_{1}+3x_{2}=0, ou x_{1}=-x_{2}. Tomamos x_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}. Passo 4A solução geral é combinação linear das modos: u(t) =c_{1}e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}e^{t}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}. Passo 5Impor a condição inicial u(0)=(5,-2)\): \[c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ -2\end{pmatrix}. Isso leva ao sistema \begin{cases} c_{1}-c_{2}=5,\\\ \;0\;+\;c_{2}=-2, \end{cases} cuja solução é \,c_{2}=-2\] e \(c_{1}=5-(-2)=3. RespostaA combinação que satisfaz u(0)=(5,-2) é u(t) =3\,e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} -2\,e^{t}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre os autovalores e autovetores da matriz A. A=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 4 & 2 & 4 \\\\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| Encontre os auto autovalores e autovetores de \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{AB} e BA . A=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right| \quad B=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right| \quad A B=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right| \quad B A=\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right| Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem. \mathrm{x}^{2}+2 x y+3 \mathrm{y}^{2}-\sqrt{2} x=0 Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem. \mathrm{x}^{2}+2 x y-8 x z+2 y z=0