Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem.
\mathrm{x}^{2}+2 x y-8 x z+2 y z=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície quádrupla dada pela equação \mathrm{x}^{2} + 2xy - 8xz + 2yz = 0.
Isso é um caso de classificação de superfícies quádricas (forma quadrática homogênea em x,y,z). Para resolver, vamos associar a essa equação uma forma quadrática homogênea e ver se ela é degenerada ou não, e em seguida determinar o tipo canônico (cone, elipsoide, etc.).

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática
Q(x,y,z) = x^{2} + 2xy - 8xz + 2yz
em termos de uma matriz simétrica A tal que
Q(x,y,z) = [x\;y\;z]\,A\,[x\;y\;z]^{T}.
Os coeficientes dão
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -4 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois a_{11}=1, a_{12}=a_{21}=1, a_{13}=a_{31}=-4 e a_{23}=a_{32}=1.

Passo 3

Calculamos o determinante de A para ver se a forma é degenerada:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -4&0\end{pmatrix} +(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -4&1\end{pmatrix} =-1-4-4=-9\neq0.
Como \det(A)\neq0, a forma quadrática é não degenerada.

Passo 4

A equação é homogênea (não há termo linear nem constante), logo descreve uma superfície central com vértice na origem. Uma forma quadrática não degenerada e homogênea em \mathbb{R}^{3} define um cone quádruplo (conhecido também como “cone duplo”) com vértice na origem.

Passo 5

Para confirmar que é um cone real (e não vazio), basta observar que a forma Q é indefinida (há sinais positivos e negativos entre os autovalores de A), o que garante a existência de direções reais não triviais em que Q=0. Assim, a superfície é um cone duplo real, análogo ao cone canônico
X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0.

Resposta

A equação \mathrm{x}^{2}+2xy-8xz+2yz=0 descreve um cone quádruplo (cone duplo) de vértice na origem.

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