Determinar as figuras cônicas ou superfícies quadráticas que as equações abaixo descrevem. \mathrm{x}^{2}+2 x y-8 x z+2 y z=0
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície quádrupla dada pela equação \mathrm{x}^{2} + 2xy - 8xz + 2yz = 0.
Isso é um caso de classificação de superfícies quádricas (forma quadrática homogênea em x,y,z). Para resolver, vamos associar a essa equação uma forma quadrática homogênea e ver se ela é degenerada ou não, e em seguida determinar o tipo canônico (cone, elipsoide, etc.).
Como \det(A)\neq0, a forma quadrática é não degenerada.
Passo 4
A equação é homogênea (não há termo linear nem constante), logo descreve uma superfície central com vértice na origem. Uma forma quadrática não degenerada e homogênea em \mathbb{R}^{3} define um cone quádruplo (conhecido também como “cone duplo”) com vértice na origem.
Passo 5
Para confirmar que é um cone real (e não vazio), basta observar que a forma Q é indefinida (há sinais positivos e negativos entre os autovalores de A), o que garante a existência de direções reais não triviais em que Q=0. Assim, a superfície é um cone duplo real, análogo ao cone canônico
X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0.
Resposta
A equação \mathrm{x}^{2}+2xy-8xz+2yz=0 descreve um cone quádruplo (cone duplo) de vértice na origem.