Questão 4. Considere, em \mathbb{E}^{3}, a base \mathcal{E}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\}, e a base \mathcal{F}=\left\{\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right\} dada por:
a) Determine a matriz de mudança de base de E para F.
b) Determine a matriz de mudança de base de F para E.
c) Como se escreve v=(1,1,1)_{E} na base F ?
d) Como se escreve w=(1,1,1)_{F} na base E ?
Passo 1
O enunciado trata de mudança de base em \mathbb{E}^3\). Temos a base canônica \(\mathcal{E}=\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}\) e a base \(\mathcal{F}=\{\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3\}\) definida por
\[\begin{cases} \vec f_{1}=-2\,\vec e_{1}-\vec e_{2}+5\,\vec e_{3},\\\ \vec f_{2}=4\,\vec e_{2}-3\,\vec e_{3},\\\ \vec f_{3}=\vec e_{1}+3\,\vec e_{2}+2\,\vec e_{3}. \end{cases}
Precisamos:
a) a matriz de mudança de base de \mathcal{E}\] para \(\mathcal{F},
b) a de \mathcal{F} para \mathcal{E},
c) as coordenadas de v=(1,1,1)_{\!E} na base \mathcal{F},
d) as coordenadas de w=(1,1,1)_{\!F} na base \mathcal{E}.
Passo 2
Para montar a matriz de mudança de base de \mathcal{F} para \mathcal{E}, denotada M_{F\to E}, colocamos em cada coluna as coordenadas de \vec f_j na base \mathcal{E}. Assim