Questão 4. Considere, em \mathbb{E}^{3}, a base \mathcal{E}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\}, e a base \mathcal{F}=\left\{\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right\} dada por:
\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{f_{1}}=-2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+5 \vec{e}_{3} \\\ \overrightarrow{f_{2}}=4 \vec{e}_{2}-3 \vec{e}_{3} \\\ \overrightarrow{f_{3}}=\vec{e}_{1}+3 \vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3} \end{array}\right.
a) Determine a matriz de mudança de base de E para F.
b) Determine a matriz de mudança de base de F para E.
c) Como se escreve v=(1,1,1)_{E} na base F ?
d) Como se escreve w=(1,1,1)_{F} na base E ?

Passo 1

O enunciado trata de mudança de base em \mathbb{E}^3\). Temos a base canônica \(\mathcal{E}=\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}\) e a base \(\mathcal{F}=\{\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3\}\) definida por \[\begin{cases} \vec f_{1}=-2\,\vec e_{1}-\vec e_{2}+5\,\vec e_{3},\\\ \vec f_{2}=4\,\vec e_{2}-3\,\vec e_{3},\\\ \vec f_{3}=\vec e_{1}+3\,\vec e_{2}+2\,\vec e_{3}. \end{cases}
Precisamos:
a) a matriz de mudança de base de \mathcal{E}\] para \(\mathcal{F},
b) a de \mathcal{F} para \mathcal{E},
c) as coordenadas de v=(1,1,1)_{\!E} na base \mathcal{F},
d) as coordenadas de w=(1,1,1)_{\!F} na base \mathcal{E}.

Passo 2

Para montar a matriz de mudança de base de \mathcal{F} para \mathcal{E}, denotada M_{F\to E}, colocamos em cada coluna as coordenadas de \vec f_j na base \mathcal{E}. Assim
M_{F\to E} =\bigl[\,[\vec f_{1}]_{E}\;\;[\vec f_{2}]_{E}\;\;[\vec f_{3}]_{E}\bigr] =\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1\\\\ -1 & 4 & 3\\\\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Como a matriz de mudança de base de \mathcal{E} para \mathcal{F} satisfaz
[v]_{F}=M_{E\to F}\,[v]_{E},\quad [v]_{E}=M_{F\to E}\,[v]_{F},
vemos que
M_{E\to F}=(M_{F\to E})^{-1}.

Passo 3

Calculamos o determinante de \displaystyle A=M_{F\to E} =\begin{pmatrix}-2&0&1\\\ -1&4&3\\\ 5&-3&2\end{pmatrix}.
Expandindo, encontra-se
\det(A)=-51.
O adjunto de A é
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} 17 & -3 & -4\\\\ 17 & -9 & 5\\\\ -17 & -6 & -8 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 17 & 17 & -17\\\\ -3 & -9 & -6\\\\ -4 & 5 & -8 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 17 & -3 & -4\\\\ 17 & -9 & 5\\\\ -17 & -6 & -8 \end{pmatrix}.
Logo
M_{E\to F}=A^{-1} =\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) =\frac{1}{-51} \begin{pmatrix} 17 & -3 & -4\\\\ 17 & -9 & 5\\\\ -17 & -6 & -8 \end{pmatrix} =\frac{1}{51} \begin{pmatrix} -17 & 3 & 4\\\\ -17 & 9 & -5\\\\ 17 & 6 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para escrever v=(1,1,1)_{E} na base \mathcal{F}, calculamos
[v]_{F} =M_{E\to F}\,[v]_{E} =\frac{1}{51} \begin{pmatrix} -17 & 3 & 4\\\\ -17 & 9 & -5\\\\ 17 & 6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\frac{1}{51} \begin{pmatrix}-17+3+4\\\ -17+9-5\\\ 17+6+8\end{pmatrix} =\frac{1}{51} \begin{pmatrix}-10\\\ -13\\\ 31\end{pmatrix}.

Passo 5

Para escrever w=(1,1,1)_{F} na base \mathcal{E}, fazemos
[w]_{E} =M_{F\to E}\,[w]_{F} =\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1\\\\ -1 & 4 & 3\\\\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2+0+1\\\ -1+4+3\\\ 5-3+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 6\\\ 4\end{pmatrix}.

Resposta

a)
M_{E\to F} =\frac{1}{51} \begin{pmatrix} -17 & 3 & 4\\\\ -17 & 9 & -5\\\\ 17 & 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad M_{F\to E} =\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1\\\\ -1 & 4 & 3\\\\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
b) Conforme acima.
c)
v_{F}=\frac{1}{51} \bigl(-10,\,-13,\,31\bigr)_{F}.
d)
w_{E}=(-1,\,6,\,4)_{E}.

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