Questão 5. Considere um referencial ortonormal \mathcal{C}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} de \mathbb{E}^{3}.
Calcule o produto escalar entre os vetores \vec{u}=(2,-1,4) e \vec{v}=(7,-5,3).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{E}^3 relativamente a um referencial ortonormal \mathcal{C}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, a saber \vec{u}=(2,-1,4) e \vec{v}=(7,-5,3). O conteúdo aqui é o produto escalar de vetores em coordenadas cartesianas, que usamos para medir a “projeção” de um vetor sobre o outro em bases ortonormais.

Passo 2

Em uma base ortonormal, o produto escalar de \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v} \;=\; u_x\,v_x \;+\; u_y\,v_y \;+\; u_z\,v_z.
Aqui temos u_x=2, u_y=-1, u_z=4 e v_x=7, v_y=-5, v_z=3.

Passo 3

Substituindo os componentes na fórmula:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot7 \;+\; (-1)\cdot(-5) \;+\; 4\cdot3 = 14 \;+\; 5 \;+\; 12 = 31.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=31

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