f(x, y, z)=x+\frac{x-y}{y-z}
mostre que:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=x+\frac{x-y}{y-z}
e pede para mostrar que
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=0.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais em multivariáveis, usando a regra do quociente para o termo \tfrac{x-y}{y-z}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
A derivada de x em relação a x é 1.
Para o quociente u/(y-z) com u=x-y, temos \partial u/\partial x=1 e \partial(y-z)/\partial x=0.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x-y}{y-z}\Bigr) =\frac{(y-z)\cdot1 - (x-y)\cdot0}{(y-z)^2} =\frac{1}{y-z}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =1+\frac{1}{y-z}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Derivada de x em relação a y é 0.
Para u=x-y e v=y-z, temos \partial u/\partial y=-1 e \partial v/\partial y=1.
Assim
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\cdot(-1)-u\cdot1}{v^2} =\frac{-(y-z)-(x-y)}{(y-z)^2} =\frac{z-x}{(y-z)^2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{z-x}{(y-z)^2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivada de x em relação a z é 0.
Para u=x-y e v=y-z, \partial u/\partial z=0 e \partial v/\partial z=-1.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial z}\!\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\cdot0 - u\cdot(-1)}{v^2} =\frac{x-y}{(y-z)^2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{x-y}{(y-z)^2}.

Passo 5

Somar as três derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial y} +\frac{\partial f}{\partial z} =\Bigl(1+\frac{1}{y-z}\Bigr) +\frac{z-x}{(y-z)^2} +\frac{x-y}{(y-z)^2}.
No numerador dos últimos dois termos aparece
(z-x)+(x-y)=z-y=-(y-z),
logo
\frac{z-x}{(y-z)^2}+\frac{x-y}{(y-z)^2} =\frac{-(y-z)}{(y-z)^2} =-\frac{1}{y-z}.
Assim a soma fica
1+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{y-z}=1.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z} =1\neq0,
portanto a afirmação de que essa soma seria zero não se verifica.

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