Determinar a função derivada da função dada:

Passo 1

A função dada é y=x+1raizx^2+2x+4. O conteúdo principal envolve derivada de produto/quociente e regra da cadeia para funções potenciais. Vamos precisar usar: a derivada de f(x)=x+1, a regra da cadeia para g(x)=(x^2+2x+4)^-1/2 e depois a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos y como produto para facilitar a aplicação das regras:
y=(x+1),(x^2+2x+4)^-1/2
Aqui definimos
f(x)=x+1 com f'(x)=1
e
h(x)=(x^2+2x+4)^-1/2.
Pela regra da cadeia, se h(u)=u^n, então h'(u)=n,u^n-1,u'. Aplicando em u=x^2+2x+4 e n=-tfrac12, temos
h'(x)=-tfrac12,(x^2+2x+4)^-3/2cdot(2x+2)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
y'=f'(x),h(x)+f(x),h'(x)
Substituindo f', h e h':
y'=(1),(x^2+2x+4)^-1/2+(x+1)l[-tfrac12,(x^2+2x+4)^-3/2(2x+2)r]

Passo 4

Para simplificar, note que 2x+2=2(x+1). Logo o segundo termo vira
-(x+1),2(x+1)2,(x^2+2x+4)^3/2=-(x+1)^2(x^2+2x+4)^3/2
Então
y'=1raizx^2+2x+4-(x+1)^2(x^2+2x+4)^3/2=(x^2+2x+4)-(x+1)^2(x^2+2x+4)^3/2

Passo 5

Basta agora calcular o numerador:
(x^2+2x+4)-(x+1)^2=x^2+2x+4-(x^2+2x+1)=3
Portanto a derivada fica

Passo 6

Assim concluímos que

Passo 7

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