Nos Problemas 15-18, calcule integralC(2 x+y) d x+x y d y na curva dada, de (-1,2) a (2,5).
y=x+3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha integralC (2x+y),dx + xy,dy ao longo da curva de (-1,2) a (2,5), sendo dado que y = x + 3. O conteúdo é integrais de linha para campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar a curva e expressar dx e dy em função de um parâmetro.

Passo 2

Parametrização da curva: como y = x+3, escolhemos x = t, y = t+3. Os pontos de partida e chegada correspondem a t=-1 (pois x=-1,y=2) e t=2 (pois x=2,y=5). Assim, temos
dx = dt e dy = dt. Agora substituímos na integral:
Substituindo na integral obtemos
integralC(2x+y),dx + xy,dy = integralt=-1^2 l(2t + (t+3)r),dt + l(t(t+3)r),dt

Passo 3

Simplificamos o integrando:
2t + (t+3) = 3t+3,
t(t+3) = t^2+3t,
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(3t+3)+(t^2+3t) = t^2 + 6t +3

Passo 4

Agora integramos de -1 até 2:
integral-1^2 (t^2 + 6t +3),dt = l[tfract^33 + 3t^2 + 3tr]-1^2

Passo 5

Calculando nos limites: no ponto t=2 temos
tfrac2^33+3cdot2^2+3cdot2 = tfrac83+12+6 = tfrac623,
e em t=-1 temos
tfrac(-1)^33+3cdot(-1)^2+3cdot(-1) = -tfrac13+3-3 = -tfrac13

Passo 6

Subtraindo,
tfrac623 - l(-tfrac13r) = tfrac633 = 21

Resposta

21

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