Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty n^n(n+1)^n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty n^n(n+1)^n+1. O conteúdo é teste de convergência de séries, e vamos precisar usar equivalência assintótica e teste de comparação com a série harmônica.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para estudar o comportamento para ntoinfty:
an = n^n(n+1)^n+1 = l(nn+1r)^n cdot 1n+1
Sabemos que limntoinfty (n/(n+1))^n = e^-1, então para grandes n
an sim e^-1n+1 sim 1e,n

Passo 3

Agora usamos o teste da comparação limite com a série harmônica sum 1/n. Calculamos
limntoinfty an1/n = limntoinfty n,an = limntoinfty n^n+1(n+1)^n+1 = limntoinfty l(nn+1r)^n+1 = e^-1 > 0
Como o limite é finito e não nulo, ambas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série harmônica sum 1/n diverge, portanto nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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