Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

Inicialmente, temos a função y = 1 + sin xcos x. Como estamos derivando uma razão de funções, vamos usar a regra do quociente. Também precisamos saber que a derivada de sin x é cos x e a derivada de cos x é -sin x.

Passo 2

Denotando o numerador como u(x)=1+sin x e o denominador como v(x)=cos x, calculamos as derivadas dessas funções:
Temos:
u'(x)=cos x, v'(x)=-sin x

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
y'=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2,
substituímos e obtemos
y'=cos xcdotcos x-(1+sin x)(-sin x)cos^2 x

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Desenvolvendo e usando a identidade trigonométrica sin^2 x+cos^2 x=1, temos:
cos^2 x+(1+sin x)sin x=cos^2 x+sin x+sin^2 x=(cos^2 x+sin^2 x)+sin x=1+sin x
Portanto a derivada fica:
Substituindo a simplificação no quociente, chegamos a
y'=1+sin xcos^2 x

Resposta

y'=1+sin xcos^2 x

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