Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty ln (cos (1 / n))

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty lnl(cos(1/n)r). O conteúdo aqui é teste de convergência de séries reais, e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor de cos x e de ln(1+u), junto com o critério de comparação com uma série-p.

Passo 2

Para x pequeno usamos a expansão de Taylor:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Tomando x=1/n, obtemos
cosl(1/nr) = 1 - 12n^2 + Ol(n^-4r)

Passo 3

Em seguida aplicamos a expansão de ln(1+u) para u=-1/(2n^2)+O(n^-4):
lnl(cos(1/n)r) = lnl(1 - 12n^2 + O(n^-4)r) = -12n^2 + O(n^-4)
Logo, para n grande, ln(cos(1/n))sim -1/(2n^2).

Passo 4

Como a série sum 1/n^2 é convergente (é uma série-p com p=2>1), pelo critério da comparação (ou pelo Teste da razão-limite) concluímos que sum ln(cos(1/n)) converge absolutamente. Portanto, a série original é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty lnl(cos(1/n)r) converge (convergência absoluta).

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