Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries reais, e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor de
e de
, junto com o critério de comparação com uma série-p.
Passo 2
Para
pequeno usamos a expansão de Taylor:
Tomando
, obtemos
Passo 3
Em seguida aplicamos a expansão de
para
:
Logo, para
grande,
.
Passo 4
Como a série
é convergente (é uma série-p com
), pelo critério da comparação (ou pelo Teste da razão-limite) concluímos que
converge absolutamente. Portanto, a série original é convergente.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).