Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

Na questão, queremos decidir se a série sumn=0^inftygl(tfracn^2+12n^2+1gr)^n converge ou diverge. O tema é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

O termo geral da série é an=l(tfracn^2+12n^2+1r)^n. Como todos os an são não negativos, o teste da raiz diz que devemos calcular L=limntoinftyraiz[n]an.

Passo 3

Calculando raiz[n]an, obtemos
raiz[n]an=n^2+12n^2+1
Agora basta avaliar o limite quando ntoinfty.

Passo 4

Para grandes n, o termo de maior grau domina, portanto
limntoinftyn^2+12n^2+1=12
Como L=1/2<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e assim converge.

Passo 5

Dessa forma, concluímos que a série é convergente.

Resposta

A série converge pelo teste da raiz, já que limntoinftyraiz[n]an=1/2<1.

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