Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
Na questão, queremos decidir se a série
converge ou diverge. O tema é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz de Cauchy.
Passo 2
O termo geral da série é
. Como todos os
são não negativos, o teste da raiz diz que devemos calcular
.
Passo 3
Calculando
, obtemos
Agora basta avaliar o limite quando
.
Passo 4
Para grandes
, o termo de maior grau domina, portanto
Como
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e assim converge.
Passo 5
Dessa forma, concluímos que a série é convergente.
Resposta
A série converge pelo teste da raiz, já que
.