Nos Problemas
, use um
para, primeiro, calcular
, para os dados número complexo e valor de
seguir, usando a saída e o mesmo valor de
, determine se
. Se não, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular primeiro zⁿ onde z = i e n = 21 e depois verificar se (zⁿ)^{1/n} retorna z. O conteúdo é potenciação e radiciação de números complexos usando forma polar e a teoria de raízes múltiplas.
Passo 2
Para calcular zⁿ, escrevemos z = i na forma polar: z = e^{iπ/2}. Logo z¹ⁿ = (e{iπ/2}){21}.
Passo 3
Usamos a propriedade de potências: (e{iπ/2}){21} = e^{i21·(π/2)} = e^{i(10π + π/2)}. Como e^{i10π}=1, isso dá w = e^{iπ/2} = i.
Passo 4
Agora extraímos as 21 raízes de w = i. Em geral, se w = e^{i(π/2 + 2πk)}, k ∈ ℤ, suas raízes-21 são
$$
w^{1/21} = e^{i((π/2 + 2πk)/21)},$$
para k = 0,1,2,…,20.
para k = 0,1,2,…,20.
Passo 5
Comparando com z = i = e^{iπ/2}, buscamos k tal que (π/2 + 2πk)/21 = π/2 + 2πm (m inteiro). Multiplicando ambos os lados por 21 e cancelando, encontramos k = 5. Ou seja, z aparece como a 6ª raiz mas não como a raiz principal (k=0).
Passo 6
Portanto, o ramo principal da raiz-21 de w (com k=0) é e^{i(π/2)/21} = e^{iπ/42} ≠ i, mostrando que (zⁿ)^{1/n} no ramo principal não devolve z.
Resposta
w = i. Não, pois a extração principal da raiz-21 de i é
, diferente de
, já que a radiciação complexa é multivalorada e apenas uma das 21 raízes retorna
.