Nos Problemas 35-40, use um SAC^* para, primeiro, calcular z^n=w, para os dados número complexo e valor de n seguir, usando a saída e o mesmo valor de n, determine se z=i ; n=21. Se não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede para calcular primeiro zⁿ onde z = i e n = 21 e depois verificar se (zⁿ)^{1/n} retorna z. O conteúdo é potenciação e radiciação de números complexos usando forma polar e a teoria de raízes múltiplas.

Passo 2

Para calcular zⁿ, escrevemos z = i na forma polar: z = e^{iπ/2}. Logo z¹ⁿ = (e{iπ/2}){21}.

Passo 3

Usamos a propriedade de potências: (e{iπ/2}){21} = e^{i21·(π/2)} = e^{i(10π + π/2)}. Como e^{i10π}=1, isso dá w = e^{iπ/2} = i.

Passo 4

Agora extraímos as 21 raízes de w = i. Em geral, se w = e^{i(π/2 + 2πk)}, k ∈ ℤ, suas raízes-21 são
$$
w^{1/21} = e^{i((π/2 + 2πk)/21)},$$
para k = 0,1,2,…,20.

Passo 5

Comparando com z = i = e^{iπ/2}, buscamos k tal que (π/2 + 2πk)/21 = π/2 + 2πm (m inteiro). Multiplicando ambos os lados por 21 e cancelando, encontramos k = 5. Ou seja, z aparece como a 6ª raiz mas não como a raiz principal (k=0).

Passo 6

Portanto, o ramo principal da raiz-21 de w (com k=0) é e^{i(π/2)/21} = e^{iπ/42} ≠ i, mostrando que (zⁿ)^{1/n} no ramo principal não devolve z.

Resposta

w = i. Não, pois a extração principal da raiz-21 de i é e^ipi/42, diferente de i, já que a radiciação complexa é multivalorada e apenas uma das 21 raízes retorna z.

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