Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para derivarmos a função logarítmica abaixo. O conteúdo envolve derivada de ln, regra da cadeia e propriedades de logaritmos:
y = lnl[x^21+x^2r]

Passo 2

Vamos usar a propriedade de logaritmos ln(a/b)=ln a-ln b e a identidade ln(x^2)=2ln|x|. Assim temos:
y = ln(x^2) - ln(1+x^2) = 2ln|x| - ln(1+x^2)

Passo 3

Agora aplicamos derivação termo a termo. Lembrando que a derivada de ln|x| é 1/x e a de ln(1+x^2) é 2x/(1+x^2). Logo:
y' = 2 cdot 1x - 2x1+x^2 = 2x - 2x1+x^2

Passo 4

Para simplificar, juntamos as frações sobre o denominador comum x(1+x^2):
y' = 2(1+x^2) - 2x^2x(1+x^2) = 2 + 2x^2 - 2x^2x(1+x^2) = 2x(1+x^2)

Resposta

y' = 2x(1+x^2)

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