Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty 2^n(n !)^lambda, lambda>0

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a convergência da série sumn=1^infty 2^n(n!)^lambda com lambda>0. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste da razão, que é um caminho padrão quando aparece fatorial.

Passo 2

Definimos o termo geral an=2^n(n!)^lambda e aplicamos o teste da razão. Calculamos

Passo 3

Agora analisamos o limite quando ntoinfty:

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente (e portanto converge) para qualquer lambda>0.

Resposta

A série converge para todo lambda>0 pelo teste da razão.

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