Seja
e
M. Mostre que
existe e é igual a
.
Passo 1
O enunciado fornece as informações
e
. O conteúdo aqui é limites de funções e operações com limites, especialmente a propriedade de diferença de funções. Para resolver, vamos usar essa propriedade e, para maior rigor, uma prova
-
.
Passo 2
A partir do enunciado, note que podemos reescrever
em função de
e
:
[ g(x) = f(x) - (f(x) - g(x)) ]
[ g(x) = f(x) - (f(x) - g(x)) ]
Essa reescrita é útil para aplicar diretamente regras de limite.
Passo 3
Pela propriedade de limite da diferença, se
e
existem, então
. Aplicando com
e
, temos:
[ \lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}(f(x)-g(x)) = L - M ]
[ \lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}(f(x)-g(x)) = L - M ]
Passo 4
Para maior rigor, apresentamos um esboço de prova
-
: seja
. Como
, existe
tal que, se
então
. Como
, existe
tal que, se
então
. Tomando
, para
vale:
[ |g(x)-(L-M)| = |f(x)-L - [(f(x)-g(x))-M]| \le |f(x)-L| + |(f(x)-g(x))-M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. ]
[ |g(x)-(L-M)| = |f(x)-L - [(f(x)-g(x))-M]| \le |f(x)-L| + |(f(x)-g(x))-M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. ]
Isso prova que
.