Seja lim x a f(x)=L e lim x a(f(x)-g(x))= M. Mostre que lim x a g(x) existe e é igual a L-M.

Passo 1

O enunciado fornece as informações limxto a f(x)=L e limxto a(f(x)-g(x))=M. O conteúdo aqui é limites de funções e operações com limites, especialmente a propriedade de diferença de funções. Para resolver, vamos usar essa propriedade e, para maior rigor, uma prova varepsilon- de.

Passo 2

A partir do enunciado, note que podemos reescrever g(x) em função de f(x) e f(x)-g(x):
[ g(x) = f(x) - (f(x) - g(x)) ]
Essa reescrita é útil para aplicar diretamente regras de limite.

Passo 3

Pela propriedade de limite da diferença, se limxto a u(x) e limxto a v(x) existem, então limxto a(u(x)-v(x)) = limxto au(x) - limxto av(x). Aplicando com u(x)=f(x) e v(x)=f(x)-g(x), temos:
[ \lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}(f(x)-g(x)) = L - M ]

Passo 4

Para maior rigor, apresentamos um esboço de prova varepsilon- de: seja varepsilon>0. Como limxto af(x)=L, existe de0 tal que, se 0<|x-a| então |f(x)-L|. Como limxto a(f(x)-g(x))=M, existe de0 tal que, se 0<|x-a| então |(f(x)-g(x))-M|. Tomando de, para 0<|x-a| vale:
[ |g(x)-(L-M)| = |f(x)-L - [(f(x)-g(x))-M]| \le |f(x)-L| + |(f(x)-g(x))-M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. ]
Isso prova que limxto ag(x)=L-M.

Resposta

L - M

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