O enunciado pede pra mostrar que se e , então existe e vale . O conteúdo aqui é limites de funções, especialmente o uso das definições - e as operações de soma, produto e quociente de limites. Vamos precisar usar a definição - para controlar tanto quanto , além de garantir que fique longe de zero perto de .
Passo 2
Como , pela definição de limite existe tal que se então . Daqui segue que para temos
ou seja, não se anula e fica bounded away de zero perto de .
Passo 3
Queremos mostrar que para todo existe tal que se então . Como , existe com
Além disso, para controlar diferença de inversos usaremos
sempre que |x-a| para algum de0. Agora defina
de
Passo 4
Para |x-a| temos ao mesmo tempo |f(x)|>=|L|/2, |f(x)g(x)-M| e |f(x)-L|. Então