Seja lim x a f(x)=L neq 0, e lim x a(f(x) g(x))=M. Mostre que lim x a g(x) existe e é igual a ML.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que se limxto af(x)=Lneq0 e limxto a(f(x)g(x))=M, então limxto ag(x) existe e vale M/L. O conteúdo aqui é limites de funções, especialmente o uso das definições varepsilon- de e as operações de soma, produto e quociente de limites. Vamos precisar usar a definição varepsilon- de para controlar tanto f(x) quanto f(x)g(x), além de garantir que f(x) fique longe de zero perto de a.

Passo 2

Como limxto af(x)=Lneq0, pela definição de limite existe de0 tal que se |x-a| então |f(x)-L|<|L|/2. Daqui segue que para |x-a| temos
|f(x)|>=|L|-|f(x)-L|>|L|-tfrac|L|2=tfrac|L|2>0,
ou seja, f(x) não se anula e fica bounded away de zero perto de a.

Passo 3

Queremos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se |x-a| então |g(x)-M/L|. Como limxto a(f(x)g(x))=M, existe de0 com
|x-a|
Além disso, para controlar diferença de inversos usaremos
l|f(x)-Lr|
sempre que |x-a| para algum de0. Agora defina
de

Passo 4

Para |x-a| temos ao mesmo tempo |f(x)|>=|L|/2, |f(x)g(x)-M| e |f(x)-L|. Então
|g(x)-tfracML|= l|f(x)g(x)f(x)-MLr| =l|f(x)g(x)-Mf(x)+Ml(1f(x)-1Lr)r|
<=|f(x)g(x)-M||f(x)|+|M|,|f(x)-L||f(x)|,|L| <=varepsilon|L|/4|L|/2+|M|varepsilon|L|^2/(4|M|)(|L|/2)|L| =varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
Isso mostra que |g(x)-M/L| sempre que |x-a|.

Passo 5

Concluímos, pela definição varepsilon- de, que
limxto ag(x)=ML

Resposta

ML

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