Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função derivada de
.
Informações dadas: a função é . Note que
para todo
, portanto o denominador nunca zera; a única restrição de domínio vem de
, que exige
(ou seja,
,
).
A tarefa é calcular (a derivada de
em termos de
).
Informações dadas: a função é
A tarefa é calcular
Passo 2
Escolhemos a regra do quociente porque a função está numa forma clara de numerador dividido por denominador. Vou dividir a função em duas partes para aplicar essa regra: definimos
e
A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
é a derivada do numerador e
a derivada do denominador. Vou calcular
e
separadamente.
Passo 3
Calcular
. A função
é simples: a derivada de constante é zero e a derivada de
é
. Logo,
Explicação curta: regra de potência para
dá
; aqui
.
Passo 4
Calcular
. Temos
, isto é uma composição:
com
e
. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma composição é
Aqui
, então
. Agora precisamos de
, ou seja, da derivada de
. Podemos obter
usando que
. Calculando:
Portanto
. Juntando,
Resumo: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com os valores encontrados:
,
,
,
. Substituindo na fórmula,
Passo 6
Simplificar a expressão fatorando termos comuns. Note que
aparece em ambos os termos do numerador e há um fator
comum, então:
Fatorando
também,
Essa forma já está simplificada de modo conveniente para escrever a derivada final.