Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{1+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função derivada de f(x)=\dfrac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{1+x^{2}}.
Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{1+x^{2}}. Note que 1+x^{2}>0 para todo x, portanto o denominador nunca zera; a única restrição de domínio vem de \operatorname{sec}(x), que exige \cos(x)\neq0 (ou seja, x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
A tarefa é calcular f'(x) (a derivada de f em termos de x).

Passo 2

Escolhemos a regra do quociente porque a função está numa forma clara de numerador dividido por denominador. Vou dividir a função em duas partes para aplicar essa regra: definimos
u(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)
e
v(x)=1+x^{2}.
A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador e v'(x) a derivada do denominador. Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 3

Calcular v'(x). A função v(x)=1+x^{2} é simples: a derivada de constante é zero e a derivada de x^{2} é 2x. Logo,
v'(x)=2x.
Explicação curta: regra de potência para x^{n} \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; aqui n=2.

Passo 4

Calcular u'(x). Temos u(x)=(\operatorname{sec} x)^{2}, isto é uma composição: u(x)=g(h(x)) com g(t)=t^{2} e h(x)=\operatorname{sec} x. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma composição é
u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g'(t)=2t, então g'(h(x))=2\operatorname{sec} x. Agora precisamos de h'(x), ou seja, da derivada de \operatorname{sec} x. Podemos obter h'(x) usando que \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}. Calculando:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Portanto h'(x)=\operatorname{sec} x\tan x. Juntando,
u'(x)=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
Resumo: a derivada de \operatorname{sec}^{2}x é 2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com os valores encontrados: u'(x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x, u(x)=\operatorname{sec}^{2}x, v(x)=1+x^{2}, v'(x)=2x. Substituindo na fórmula,
f'(x)=\frac{(2\operatorname{sec}^{2}x\tan x)(1+x^{2})-\operatorname{sec}^{2}x\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 6

Simplificar a expressão fatorando termos comuns. Note que \operatorname{sec}^{2}x aparece em ambos os termos do numerador e há um fator 2 comum, então:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\big(2\tan x(1+x^{2})-2x\big)}{(1+x^{2})^{2}}.
Fatorando 2 também,
f'(x)=\frac{2\operatorname{sec}^{2}x\big(\tan x(1+x^{2})-x\big)}{(1+x^{2})^{2}}.
Essa forma já está simplificada de modo conveniente para escrever a derivada final.

Resposta

f'(x)=\frac{2\operatorname{sec}^{2}x\big(\tan x(1+x^{2})-x\big)}{(1+x^{2})^{2}}

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