Como determinar, graficamente, se uma função é ímpar? E analiticamente?

Passo 1

O enunciado pede dois testes para saber se uma função é ímpar:
• Um teste gráfico.
• Um teste analítico.
O conteúdo envolvido é simetria de funções (no caso, simetria de uma função ímpar) e a definição matemática de ímparidade.

Passo 2

Lembre que uma função f é dita ímpar se satisfaz, para todo x em seu domínio,
f(-x) = -\,f(x).
Além disso, o domínio de f deve ser simétrico em relação a zero (isto é, se x está no domínio, então -x também está).

Passo 3

Critério gráfico:
Uma função é ímpar se o seu gráfico for simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas.
Em outras palavras, ao girar o gráfico em 180^\circ em torno da origem (0,0), ele coincide exatamente com o gráfico original.

Passo 4

Critério analítico:
  1. Verifique se o domínio de f é simétrico (se x está no domínio, então -x também).
  2. Calcule f(-x) e compare com -\,f(x).
  3. Se para todo x válido ocorrer
f(-x) = -\,f(x),
então f é ímpar; caso contrário, não é ímpar.

Resposta

Graficamente: o gráfico deve ser simétrico em relação à origem (rotação de 180^\circ deixa o gráfico inalterado).
Analiticamente: deve-se ter domínio simétrico e
\forall x,\quad f(-x)= -\,f(x).

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