Determinar a hipérbole cujo o centro é C=(-4,3), um dos vértices do eixo real é D=(-5,3) e a distância focal é 4.

Passo 1

O enunciado pede uma hipérbole com centro em C=(-4,3), um vértice em D=(-5,3) no eixo real e distância focal igual a 4. Como o vértice compartilha a mesma ordenada do centro, o eixo real é horizontal e a forma padrão é
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde (h,k) é o centro.

Passo 2

Calcular a como a distância de C a D:
a=\sqrt{(-5-(-4))^2+(3-3)^2}=\sqrt{(-1)^2}=1,
logo a^2=1.

Passo 3

A distância focal total é 2c=4, portanto
c=2 \quad\Longrightarrow\quad c^2=4.

Passo 4

Na hipérbole vale a relação
c^2=a^2+b^2,
então
b^2=c^2-a^2=4-1=3.

Passo 5

Substituindo h=-4, k=3, a^2=1 e b^2=3 na forma padrão, obtemos
\frac{(x+4)^2}{1}-\frac{(y-3)^2}{3}=1.

Resposta

\frac{(x+4)^2}{1}-\frac{(y-3)^2}{3}=1.

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