Encontre a equação canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equação 16 x^{2}+7 y^{2}+256 x+996=0 e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto ( -8,2 ).

Passo 1

O enunciado dá a elipse
16x^{2}+7y^{2}+256x+996=0
e pede a parábola cujo foco é o centro dessa elipse e cuja diretriz é a reta tangente à elipse no ponto (-8,2). Vamos usar: completamento de quadrados para achar o centro da elipse, derivada implícita para a reta tangente e, em seguida, a definição foco–diretriz da parábola para obter sua equação canônica.

Passo 2

Para achar o centro da elipse, completamos quadrados em x:
16(x^{2}+16x)+7y^{2}+996=0
16\bigl((x+8)^{2}-64\bigr)+7y^{2}+996=0
16(x+8)^{2}-1024+7y^{2}+996=0
16(x+8)^{2}+7y^{2}-28=0
Portanto o centro é C=(-8,0).

Passo 3

Para a reta tangente usamos derivada implícita em
16x^{2}+7y^{2}+256x+996=0.
Temos
32x+14y\,y'+256=0.
No ponto (-8,2) isso dá
32(-8)+14\cdot2\,y'+256=-256+28y'+256=0\implies y'=0.
Logo a reta tangente é horizontal em y=2.

Passo 4

A parábola tem foco em F=C=(-8,0) e diretriz y=2. Essa reta está a 2 unidades acima de F, logo o vértice V fica no ponto médio entre foco e diretriz, isto é em
V=(-8,1),
e o parâmetro focal é p=1. Como a diretriz está acima do foco, a parábola abre para baixo. A forma canônica de uma parábola vertical com vértice (h,k) e abertura para baixo é
(x-h)^{2}=-4p\,(y-k).
Aqui h=-8, k=1 e p=1.

Resposta

(x+8)^{2}=-4\,(y-1).

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