Encontre a equação canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equação
e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede a parábola cujo foco é o centro dessa elipse e cuja diretriz é a reta tangente à elipse no ponto
. Vamos usar: completamento de quadrados para achar o centro da elipse, derivada implícita para a reta tangente e, em seguida, a definição foco–diretriz da parábola para obter sua equação canônica.
Passo 2
Para achar o centro da elipse, completamos quadrados em
:
Portanto o centro é
.
Passo 3
Para a reta tangente usamos derivada implícita em
Temos
No ponto
isso dá
Logo a reta tangente é horizontal em
.
Passo 4
A parábola tem foco em
e diretriz
. Essa reta está a 2 unidades acima de
, logo o vértice
fica no ponto médio entre foco e diretriz, isto é em
e o parâmetro focal é
. Como a diretriz está acima do foco, a parábola abre para baixo. A forma canônica de uma parábola vertical com vértice
e abertura para baixo é
Aqui
,
e
.