Dê uma equação vetorial da reta r perpendicular ao plano \pi de equação \pi: x-2 y-4 z-20=0, e que contém um diâmetro da superficie esférica S de equação S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-2 z+2=0.
Escolha uma opçio:
a. X=(1,-2,-1)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
b. X=(-1,-2,-1)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
X=(-1,-2,1)+\lambda(1,-2,-4), \operatorname{com} \lambda \in \mathbb{R}
d. X=(1,-2,1)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
e. X=(-1,2,-1)+\lambda(1,-2,-4), \operatorname{com} \lambda \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta r que é perpendicular ao plano \pi\colon x-2y-4z-20=0
e que contém um diâmetro da esfera
S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-2z+2=0.
Vamos usar que (1) a reta perpendicular ao plano tem direção dada pelo vetor normal a \pi e (2) um diâmetro da esfera passa pelo seu centro.

Passo 2

O vetor normal ao plano \pi é dado pelos coeficientes de x,y,z em \,x-2y-4z-20=0, ou seja
n = (1,\,-2,\,-4).

Passo 3

Para achar o centro da esfera, completamos quadrados em
x^{2}-2x+y^{2}+4y+z^{2}-2z+2=0.
Escrevendo
(x-1)^{2}-1 + (y+2)^{2}-4 + (z-1)^{2}-1 +2 = 0
temos
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2} = 4,
logo o centro é
C = (1,\,-2,\,1).

Passo 4

Uma reta perpendicular a \pi usa n como direção e, para conter um diâmetro, deve passar por C. Assim
\mathbf{X} = C + \lambda\,n \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{X} = (1,-2,1) + \lambda\,(1,-2,-4).

Passo 5

Ao comparar com as opções fornecidas, essa corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \mathbf{X}=(1,-2,1)+\lambda(1,-2,-4),\\ \lambda\in\mathbb{R}.

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