Determinar se o operadore a seguir é ortogonal. T(x, y)=(x+y, y-x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y)=(x+y,\;y-x)
é ortogonal. As informações que temos são apenas a expressão de T em coordenadas (isto é, como age em um vetor arbitrário (x,y)). O objetivo é dizer se T preserva o produto interno (ou, equivalentemente, se a matriz que representa T é uma matriz ortogonal).

Passo 2

O que significa ser operador ortogonal? Vou explicar de forma bem direta:
  • O produto interno padrão em \mathbb{R}^2 é dado por \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2. Um operador linear T é ortogonal se preserva o produto interno, isto é, se para todos u,v\in\mathbb{R}^2 vale
\langle T(u),T(v)\rangle = \langle u,v\rangle.
  • Para uma matriz A que representa T na base canônica, isso é equivalente a
A^{T}A = I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade.
  • Outra forma prática: as colunas de A devem ser vetores ortonormais (ou seja, cada coluna tem norma 1 e colunas diferentes são ortogonais entre si).
  • Um corolário útil: se A for ortogonal então \det A = \pm 1.
Vou usar esses testes (especialmente A^{T}A = I e a verificação de normas) para decidir na prova — é rápido e seguro.

Passo 3

Primeiro obtenho a matriz de T na base canônica. Calculo T aplicado aos vetores base \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):
T(\mathbf{e}_1)=T(1,0)=(1+0,\;0-1)=(1,-1),
T(\mathbf{e}_2)=T(0,1)=(0+1,\;1-0)=(1,1).
A matriz A que representa T (colunas sendo as imagens das bases) é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora aplico o teste A^{T}A. Primeiro escrevo A^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplico A^{T}A explicitamente (faço termo a termo para não perder passo):
A^{T}A= \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada entrada:
  • canto (1,1): 1\cdot1 + (-1)\cdot(-1)=1+1=2,
  • canto (1,2): 1\cdot1 + (-1)\cdot1=1-1=0,
  • canto (2,1): 1\cdot1 + 1\cdot(-1)=1-1=0,
  • canto (2,2): 1\cdot1 + 1\cdot1=1+1=2.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=2I.
Como A^{T}A não é igual a I 2I), a matriz A não é ortogonal. Isso já responde a questão: T não preserva o produto interno.]

Passo 5

Para entender de forma intuitiva o que acontece com comprimentos: calcule a norma de T(x,y).
\|T(x,y)\|^2=(x+y)^2+(y-x)^2.
Desenvolvendo:
(x+y)^2+(y-x)^2 = x^2+2xy+y^2 + y^2-2xy+x^2 = 2x^2+2y^2 = 2\bigl(x^2+y^2\bigr).
Logo \|T(x,y)\|^2 = 2\| (x,y)\|^2. Os comprimentos são multiplicados por \sqrt{2}, então não são preservados (exceto para o vetor zero). Isso confirma em termos geométricos que T não é ortogonal.

Passo 6

Verificação adicional (curiosidade útil na prova): o determinante de A é
\det A = 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1+1 = 2,
que também não é \pm 1, outro sinal de que A não é ortogonal. Observação final útil: a matriz A é igual a \sqrt{2} vezes uma matriz ortogonal (isto é, \frac{1}{\sqrt{2}}A é ortogonal), mas A em si não é.

Resposta

Não; T não é ortogonal.

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