Resolva: |x-2|-|x+1|>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valores absolutos |x-2| - |x+1| > 0. Vamos usar conteúdo de valores absolutos e a ideia de analisar em regiões definidas pelos pontos críticos onde cada expressão muda de sinal (aqui em x=-1 e x=2).

Passo 2

Identificamos os pontos críticos de mudança de sinal das expressões dentro dos absolutos: x=-1 e x=2. Assim dividimos a reta real em três intervalos: (-infty,-1), [-1,2), [2,+infty).

Passo 3

No intervalo x< -1: temos x-2<0 e x+1<0. Então |x-2|=-(x-2)=2-x e |x+1|=-(x+1)=-x-1. Substituindo:
|x-2|-|x+1|=(2-x)-(-x-1)=2-x+x+1=3>0
Como 3>0 é sempre verdade em todo o intervalo x< -1, toda essa região satisfaz a desigualdade.

Passo 4

No intervalo -1<= x<2: aqui x-2<0 mas x+1>=0. Então |x-2|=2-x e |x+1|=x+1. Substituindo:
|x-2|-|x+1|=(2-x)-(x+1)=2-x-x-1=1-2x>0
Resolvendo 1-2x>0 1>2x e então x<tfrac12. Mas estamos no intervalo -1<= x<2, então intersectamos e obtemos -1<= x<tfrac12.

Passo 5

No intervalo x>=2: temos x-2>=0 e x+1>=0. Então |x-2|=x-2 e |x+1|=x+1. Substituindo:
|x-2|-|x+1|=(x-2)-(x+1)=x-2-x-1=-3<0
Como -3<0 é falso, nenhum xin[2,+infty) satisfaz a desigualdade.

Passo 6

Agora unimos as soluções dos três intervalos: em (-infty,-1) tudo é solução, em [-1,2) a solução é -1<= x<tfrac12, e em [2,+infty) não há solução. Portanto, o conjunto solução é (-infty,tfrac12).

Resposta

(-\u001e,\tfrac12)

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