Resolva: |x-1| <= 2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
|x - 1| <= 2x - 1
O conteúdo envolvido é manipular desigualdades que contenham valor absoluto, o que exige analisar o domínio onde a desigualdade faz sentido e depois tratar os dois sinais possíveis de x-1.

Passo 2

Como |x-1|>=0, para haver solução precisamos de
2x - 1 >= 0,
pois, se 2x-1<0, teríamos 0 <= |x-1|<= 2x-1<0, impossível. Logo,
2x - 1 >= 0 Longrightarrow x >= tfrac12

Passo 3

Para x>=1, o valor dentro do módulo é não-negativo, então |x-1|=x-1. A desigualdade vira
x-1 <= 2x-1 Longrightarrow -1 <= x-1 Longrightarrow 0 <= x,
que é sempre verdadeiro em x>=1. Portanto todo x>=1 satisfaz a desigualdade.

Passo 4

Para tfrac12 <= x<1, temos x-1<0, logo |x-1|=1-x. A desigualdade fica
1-x <= 2x - 1 Longrightarrow 1 + 1 <= 2x + x Longrightarrow 2 <= 3x Longrightarrow x >= tfrac23
Combinando com tfrac12 <= x <1, obtemos tfrac23<= x<1.

Passo 5

Unindo as soluções dos dois casos ( tfrac23<= x<1 e x>=1), concluímos que
x in l[tfrac23,inftyr)

Resposta

l[tfrac23,inftyr)

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