A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em
pacotes iguais de tal forma que
seja o menor possível. Calcule o valor de n. R: 650 livros em cada pacote, num total de 11 pacotes.
Passo 1
O enunciado fornece três pedidos de livros:
livros,
livros e
livros. A editora quer remeter esses livros em
pacotes iguais, de modo que
seja o menor possível. Informações relevantes:
- Quantidades dos pedidos:
, e . - Os pacotes devem ser todos do mesmo tamanho (mesma quantidade de livros por pacote).
- Queremos que o número total de pacotes
seja mínimo.
Passo 2
Entendendo o que isso significa na prática (explicação didática): se cada pacote tiver
livros, então
deve dividir exatamente cada um dos números
,
e
(ou seja, não pode sobrar livro em nenhum pedido). Para cada pedido o número de pacotes será
, e o total de pacotes é a soma dessas frações. Se quisermos que o total de pacotes
seja o menor possível, temos que escolher
o maior possível entre os divisores comuns aos três números — esse
é o máximo divisor comum (MDC, também chamado de GCD). Portanto a tarefa é encontrar o MDC de
,
e
. Vou ensinar um método prático para isso: o algoritmo de Euclides.
Passo 3
Explicando o algoritmo de Euclides (passo a passo): para encontrar
escrevemos
(divisão com resto) e então
. Repetimos até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o MDC.
Aplicando primeiro a
:
Faço a divisão de por
:
Faço a divisão de
Aqui o resto é
. Agora calculo
. Faço a divisão de
por
:
O resto é
, portanto o MDC entre
e
é o último resto não nulo, que é
. Logo
Passo 4
Agora preciso do MDC com
também, isto é
. Verifico se
é divisível por
:
O resto é
, então
. Conclusão:
(Dica extra curta: poderia também fazer fatoração prima dos três números e tomar os fatores comuns com menor expoente; daria o mesmo resultado
.)
Passo 5
Interpretação do resultado: o maior tamanho possível de cada pacote que permite dividir exatamente os três pedidos é
livros por pacote. Isso garante o menor número total de pacotes, porque quanto maior for cada pacote, menor será o número total de pacotes necessários.
Agora calculo quantos pacotes cada livraria recebe:
Somando, o número total de pacotes é