A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o valor de n. R: 650 livros em cada pacote, num total de 11 pacotes.

Passo 1

O enunciado fornece três pedidos de livros: 1300 livros, 1950 livros e 3900 livros. A editora quer remeter esses livros em n pacotes iguais, de modo que n seja o menor possível. Informações relevantes:
  • Quantidades dos pedidos: 1300, 1950 e 3900.
  • Os pacotes devem ser todos do mesmo tamanho (mesma quantidade de livros por pacote).
  • Queremos que o número total de pacotes n seja mínimo.

Passo 2

Entendendo o que isso significa na prática (explicação didática): se cada pacote tiver d livros, então d deve dividir exatamente cada um dos números 1300, 1950 e 3900 (ou seja, não pode sobrar livro em nenhum pedido). Para cada pedido o número de pacotes será \dfrac{\text{pedido}}{d}, e o total de pacotes é a soma dessas frações. Se quisermos que o total de pacotes n seja o menor possível, temos que escolher d o maior possível entre os divisores comuns aos três números — esse d é o máximo divisor comum (MDC, também chamado de GCD). Portanto a tarefa é encontrar o MDC de 1300, 1950 e 3900. Vou ensinar um método prático para isso: o algoritmo de Euclides.

Passo 3

Explicando o algoritmo de Euclides (passo a passo): para encontrar \gcd(a,b) escrevemos b = q\cdot a + r (divisão com resto) e então \gcd(a,b)=\gcd(r,a). Repetimos até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o MDC.
Aplicando primeiro a \gcd(1300,1950):
Faço a divisão de 1950 por 1300:
1950 = 1\cdot 1300 + 650.
Aqui o resto é 650. Agora calculo \gcd(1300,650). Faço a divisão de 1300 por 650:
1300 = 2\cdot 650 + 0.
O resto é 0, portanto o MDC entre 1300 e 1950 é o último resto não nulo, que é 650. Logo
\gcd(1300,1950)=650.

Passo 4

Agora preciso do MDC com 3900 também, isto é \gcd(650,3900). Verifico se 3900 é divisível por 650:
3900 = 6\cdot 650 + 0.
O resto é 0, então \gcd(650,3900)=650. Conclusão:
\gcd(1300,1950,3900)=650.
(Dica extra curta: poderia também fazer fatoração prima dos três números e tomar os fatores comuns com menor expoente; daria o mesmo resultado 650.)

Passo 5

Interpretação do resultado: o maior tamanho possível de cada pacote que permite dividir exatamente os três pedidos é d=650 livros por pacote. Isso garante o menor número total de pacotes, porque quanto maior for cada pacote, menor será o número total de pacotes necessários.
Agora calculo quantos pacotes cada livraria recebe:
\frac{1300}{650}=2,\qquad \frac{1950}{650}=3,\qquad \frac{3900}{650}=6.
Somando, o número total de pacotes é
n = 2 + 3 + 6 = 11.

Resposta

650 livros em cada pacote
11 pacotes no total

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